Obliczymy pole przekroju zawierającego środek kuli o polu powierzchni $36\pi$.

Rozwiązanie:

Ponieważ jest to przekrój zawierający środek kuli, to jest to koło wielkie. Zauważmy, że pole całkowite kuli wyraża się wzorem $P_c=4\pi R^2$, a pole koła wielkiego $P=\pi R^2$. To oznacza, że pole koła wielkiego jest czterokrotnie mniejsze od pola całkowitego kuli. A zatem $P=\frac{1}{4}\cdot 36\pi =9\pi$.

Pole przekroju osiowegoprzekrój osiowyprzekroju osiowego kuli wynosi $32\pi$. Obliczymy objętość tej kuli.

Rozwiązanie:

Obliczmy promień kuli. Korzystając z pola przekroju osiowego mamy $\pi R^2=32\pi$, a stąd $R=4\sqrt{2}$.

Obliczamy objętość kuli: $V=\frac{4}{3}\pi \cdot {\left(4\sqrt{2}\right)}^3=\frac{512}{3}\sqrt{2}\pi$.

Obliczymy pole przekroju osiowego kuli o promieniu $8 \mathrm{cm}$, którego odległość od środka wynosi $4 \mathrm{cm}$.

Rozwiązanie:

R18G0ExkHlopj

Ilustracja przedstawia kulę o promieniu 8 oraz jej przekrój wewnętrzny będących kołem o promieniu r. Odległość środka kuli od środka koła wynosi cztery. Wewnątrz kuli powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych cztery i r oraz przeciwprostokątnej równej osiem.

Obliczamy promień przekroju z twierdzenia Pitagorasa: $4^2+r^2=8^2$. A zatem $r^2=48$. Stąd $r=4\sqrt{3} \mathrm{cm}$. A zatem pole przekroju wynosi $P=\pi \cdot {\left(4\sqrt{3}\right)}^2=48\pi {\mathrm{cm}}^2$.

Kulę o promieniu $10$ przecięto dwiema płaszczyznami równoległymi, tak, że jeden z przekrojów ma promień dwukrotnie dłuższy od drugiego. Obliczymy odległość między tymi przekrojami, jeżeli jeden z nich znajduje się w odległości $6$ od środka.

Rozwiązanie:

Obliczamy długość promienia pierwszego z przekrojów z twierdzenia Pitagorasa:

RFz0ZbTW0EoyJ

Ilustracja przedstawia kulę o promieniu 10 oraz jej przekrój wewnętrzny będących kołem o promieniu r. Odległość środka kuli od środka koła wynosi sześć. Wewnątrz kuli powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych sześć i r oraz przeciwprostokątnej równej dziesięć.

$6^2+r^2={10}^2$. A zatem $r=8$.

Ponieważ długość promienia przekroju wynosi $8$, to drugi przekrój musi być mniejszy. Mamy więc $r_2=4$. Obliczamy odległość tego przekroju od środkaodległość przekroju od środkaodległość tego przekroju od środka z twierdzenia Pitagorasa: $d^2+4^2={10}^2$. Czyli $d=2\sqrt{21}$.

Mamy dwie możliwości położenia tego przekroju:

RPlr9RToRA575

Ilustracja przedstawia okrąg oraz jego trzy cięciwy, dwie z nich są tej samej długości, w takiej samej odległości od środka okręgu. Wszystkie trzy cięciwy są do siebie równoległe, dwie z nich znajdują się w górnej części okręgu. Na ilustracji zaznaczona została także odległość obu krótszych cięciw od dłuższej cięciwy. W przypadku cięciwy znajdującej się w górnej części okręgu odległość ta wynosi $2\sqrt{21}-6$. W przypadku cięciwy znajdującej się w dolnej części okręgu odległość ta wynosi $2\sqrt{21}+6$.

A zatem odległość pomiędzy tymi przekrojami wynosi $2\sqrt{21}-6$ lub $2\sqrt{21}+6$.

Oblicz objętość i pole powierzchni mniejszego odcinka kuli powstałego przez przekrój kuli o promieniu $15 \mathrm{cm}$ oddalonym o $12 \mathrm{cm}$ od środka.

Rozwiązanie:

R1Qxx0fYApx4U

Ilustracja przedstawia kulę o promieniu piętnaście oraz jej przekrój wewnętrzny będących kołem o promieniu r. Odległość środka kuli od środka koła wynosi dwanaście. Powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych wynoszących dwanaście i r oraz przeciwprostokątnej o długości piętnaście. Na ilustracji zaznaczony został także odcinek prostopadły do płaszczyzny przekroju, łączący środek przekroju i ścianę kuli oznaczony jako h.

Mamy, że $h=15-12=3 \mathrm{cm}$. Obliczamy promień przekroju z twierdzenia Pitagorasa: $r^2+{12}^2={15}^2$. A stąd $r=9 \mathrm{cm}$.

Mamy więc $V=\frac{\pi \cdot 3^2}{3}\left(45-3\right)=126\pi {\mathrm{cm}}^3$ oraz $P_c=2\pi \cdot 15\cdot 3+\pi \cdot 9^2=171\pi {\mathrm{cm}}^2$.

część wspólna bryły i płaszczyzny, która ją przecina

przekrój zawierający oś obrotu bryły obrotowej

długość najkrótszego odcinka łączącego środek kuli i przekrój