Przeczytaj

Z zasadniczego twierdzenia algebry wynika, że równanie wielomianowe stopnia $n$ może mieć co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych. Przy czym każde równanie wielominowe stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Jest to ważna informacja, z której będziemy korzystać rozwiązując równania, których współczynniki bądź pierwiastki są wyrazami ciągu arytmetycznego.

Ciąg arytmetyczny

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$
Wyraz ogólny ciągu	Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu	Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$	$a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$	$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$

Rozwiązanie pierwszego przykładu prowadzi do znalezienia ostatniego wyrazu skończonego ciągu arytmetycznego.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie $1 + 7 + 13 + \dots + x = 280$ , którego składniki lewej strony są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Rozwiązanie:

Liczba $1$ jest pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego, a liczba $x$ ostatnim. Oznaczmy ten ciąg $(a_{n})$ , a $r$ – jego różnicę.

Wtedy:

$r = 7 - 1 = 6$ i $a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 6 = 6 n - 5$ , gdzie $n = 1, 2, 3, 4, \dots$

Ostatnim wyrazem ciągu $1$ , $7$ , $13$ , $\dots$ , $x$ jest liczba $x$ , zatem $x = 6 n - 5$ .

Lewą stronę równania przedstawiamy w prostszej postaci – korzystamy ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$\frac{1 + 6 n - 5}{2} \cdot n = 280$

$6 n^{2} - 4 n = 560$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$6 n^{2} - 4 n - 560 = 0$

$∆ = 13456 \Rightarrow \sqrt{∆} = 116$

$n = \frac{- 112}{12} < 0$ – nie spełnia warunków zadania

lub

$n = 10$

Wynika z tego, że dodano dziesięć wyrazów ciągu, więc $x = a_{10}$ .

$x = 6 \cdot 10 - 5 = 55$

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $55$ .

Rozwiązanie kolejnego problemu wymaga nie tylko rozwiązania pewnego równania, ale również układu równań z trzema niewiadomymi.

Przykład 2

Ciąg $(a, b, c)$ jest ciągiem arytmetycznym, w którym pierwszy wyraz jest o $6$ większy od trzeciego. Równanie $a c x^{2} + (a - b c) x - b = 0$ z niewiadomą $x$ ma dwa rozwiązania, z których jedno jest równe $4$ . Znajdziemy drugie rozwiązanie tego równania.

Rozwiązanie:

Z treści zadania wynika, że $a = c + 6$ .

Ciąg $(a, b, c)$ jest arytmetyczny, więc $c - b = b - a$ , czyli $2 b = c + a$ .

Jednym z rozwiązań równania jest liczba $4$ , więc $16 a c + (a - b c) \cdot 4 - b = 0$ .

W ten sposób uzyskaliśmy układ trzech równań z trzema niewiadomymi.

$\{\begin{cases} a = c + 6 \\ 2 b = c + a \\ 16 a c + (a - b c) \cdot 4 - b = 0 \end{cases}$

Rozwiążemy ten układ równań metodą podstawiania. Wyznaczone $a$ podstawiamy do drugiego i do trzeciego równania.

$\{\begin{cases} a = c + 6 \\ 2 b = c + c + 6 \\ 16 c (c + 6) + 4 (c + 6) - 4 b c - b = 0 \end{cases}$

Rozwiązujemy uzyskany układ równań.

$\{\begin{cases} a = c + 6 \\ b = c + 3 \\ 16 c^{2} + 96 c + 4 c + 24 - 4 (c + 3) c - (c + 3) = 0 \end{cases}$

Żeby nie komplikować zapisów, wyodrębnimy z układu równań trzecie równanie i rozwiążemy je.

$16 c^{2} + 100 c + 24 - 4 c^{2} - 12 c - c - 3 = 0$

$12 c^{2} + 87 c + 21 = 0 | : 3$

$4 c^{2} + 29 c + 7 = 0$

$∆ = 29^{2} - 112 = 841 - 112 = 729 \Rightarrow \sqrt{∆} = 27$

$c = - 7$ lub $c = - \frac{1}{4}$

Jeśli $c = - 7$ to $a = - 1$ i $b = - 4$ .
Liczby $- 1$ , $- 4$ , $- 7$ tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny o różnicy $- 3$ .
Rozwiązywane równanie ma postać:
$7 x^{2} - 29 x + 4 = 0$
Wyznaczamy pierwiastki równania.
$∆ = 729 \Rightarrow \sqrt{∆} = 27$
$x = \frac{1}{7}$ lub $x = 4$

Jeśli $c = - \frac{1}{4}$ to $a = \frac{23}{4}$ i $b = \frac{11}{4}$ .
Liczby $\frac{23}{4}$ , $\frac{11}{4}$ , $- \frac{1}{4}$ tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $- 3$ .
Rozwiązywane równanie ma postać:
$23 x^{2} - 103 x + 44 = 0$
Wyznaczamy pierwiastki równania.
$∆ = 6561 \Rightarrow \sqrt{∆} = 81$
$x = \frac{11}{23}$ lub $x = 4$

Odpowiedź:

Rozwiązaniami równania są liczby $\frac{1}{7}$ i $4$ lub $\frac{11}{23}$ i $4$ .

Rozwiążemy teraz równanie stopnia trzeciego z parametrem, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego.

Przykład 3

Znajdziemy taką wartość parametru $m$ , dla której rozwiązaniami równania $x^{3} - m x^{2} - 4 x + 4 m = 0$ są trzy różne liczby, będące kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać równanie $x^{3} - m x^{2} - 4 x + 4 m = 0$ , rozkładamy równanie na czynniki.

$x^{2} (x - m) - 4 (x - m) = 0$

$(x^{2} - 4) (x - m) = 0$

Zapisujemy równanie w postaci równoważnej alternatywy.

$x^{2} - 4 = 0$ lub $x - m = 0$

$x = 2$ lub $x = - 2$ lub $x = m$

Aby wyznaczyć liczbę $m$ rozpatrzymy następujące przypadki.

Kolejne wyrazy ciągu: $- 2$ , $2$ , $m$ . Różnica ciągu: $r = 2 - (- 2) = 4$ , stąd $m = 2 + 4 = 6$ .

Kolejne wyrazy ciągu: $m$ , $2$ , $- 2$ . Różnica ciągu: $r = - 2 - 2 = - 4$ , stąd $m = 2 + 4 = 6$ .

Kolejne wyrazy ciągu: $- 2$ , $m$ , $2$ . Ze związku miedzy wyrazami ciągu arytmetycznego: $m = \frac{- 2 + 2}{2} = 0$ .

Kolejne wyrazy ciągu: $2$ , $m$ , $- 2$ . Ze związku miedzy wyrazami ciągu arytmetycznego: $m = \frac{- 2 + 2}{2} = 0$ .
Pozostałe dwa przypadki pozostawiamy Ci do rozpatrzenia.

Odpowiedź:

Dla $m = 0$ lub $m = \pm 6$ rozwiązaniami równania $x^{3} - m x^{2} - 4 x + 4 m = 0$ są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.

W następnym zadaniu rozwiążemy układ równań z trzema niewiadomymi. Aby uprościć zapis rozwiązania, nie będziemy przepisywać całego układu równań, ale postąpimy w sposób „kombinowany” – łącząc parami równania układu.

Przykład 4

Określimy, dla jakich wartości parametru $m$ rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} m x + y + z = 0 \\ x - y + z = 2, 5 \\ 2 x - y + z = 7 \end{cases}$

są liczby $x$ , $y$ , $z$ tworzące w tej kolejności ciąg arytmetyczny.

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać układ równań

$\{\begin{cases} m x + y + z = 0 \\ x - y + z = 2, 5 \\ 2 x - y + z = 7 \end{cases}$

z drugiego równania układu wyznaczamy $- y + z$ i podstawiamy do równania trzeciego, z którego wyznaczamy $x$ .

$- y + z = 2, 5 - x$

$2 x - y + z = 7$

$2 x + 2, 5 - x = 7$

$x = 4, 5$

Ponieważ liczby $x$ , $y$ , $z$ tworzą ciąg arytmetyczny, zatem z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego wynika, że

$y = \frac{4, 5 + z}{2}$ .

Zatem

$z = 2 y - 4, 5$ .

Wyznaczone z wstawiamy do drugiego z równań układu i wyznaczamy $y$ .

$x - y + z = 2, 5$

$4, 5 - y + 2 y - 4, 5 = 2, 5$

$y = 2, 5$

Obliczamy teraz trzecią niewiadomą.

$z = 2 y - 4, 5$

$z = 2 \cdot 2, 5 - 4, 5 = 0, 5$

Wreszcie podstawiamy wyznaczone liczby do równania pierwszego i obliczamy $m$ .

$m x + y + z = 0$

$4, 5 m + 2, 5 + 0, 5 = 0$

$m = - \frac{2}{3}$

Odpowiedź:

Rozwiązania rozważanego układu równań tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny dla $m = - \frac{2}{3}$ .

W ostatnim przykładzie rozwiążemy nierówność, pamiętając o dziedzinie ciągu arytmetycznego.

Przykład 5

W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ suma pierwszego i trzeciego wyrazu jest równa $2$ , a iloczyn wyrazu pierwszego i czwartego jest równy $1$ . Znajdziemy wartość liczby $m$ , dla której

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{m} < 60$

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$r$ – różnicę ciągu $(a_{n})$ .

Wtedy

$a_{3} = a_{1} + 2 r$ i $a_{4} = a_{1} + 3 r$

Na podstawie treści zadania, zapisujemy układ równań.

$\{\begin{cases} a_{1} + a_{3} = 2 \\ a_{1} \cdot a_{4} = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a_{1} + a_{1} + 2 r = 2 \\ a_{1} \cdot (a_{1} + 3 r) = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a_{1} + r = 1 \\ a_{1} \cdot (a_{1} + 3 r) = 1 \end{cases}$

Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania.

$\{\begin{cases} r = 1 - a_{1} \\ 2 {a_{1}}^{2} - 3 a_{1} + 1 = 0 \end{cases}$

Drugie równanie układu jest równaniem kwadratowym – rozwiążemy je.

$∆ = 9 - 8 = 1$

$a_{1} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$ lub $a_{1} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

Jeśli $a_{1} = \frac{1}{2}$ to $r = \frac{1}{2}$ i $a_{m} = \frac{1}{2} + (m - 1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} m$ .
Rozwiązujemy nierówność
$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{m} < 60$
Lewą stronę nierówności przekształcamy, korzystając ze wzoru na sumę kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
$\frac{\frac{1}{2} + \frac{m}{2}}{2} \cdot m < 60$
$m^{2} + m - 240 < 0$
$∆ = 961 \Rightarrow \sqrt{∆} = 31$
$m = - 16 < 0$
lub
$m = 15$
Nierówność jest spełniona dla $m \in (- 16, 15)$ .
Jednak wiemy, że $m$ jest liczba naturalną dodatnią (gdyż $a_{m}$ jest wyrazem ciągu arytmetycznego).
Stąd $m = 1$ , $2$ , $3$ , $\dots$ , $14$ .

Jeśli $a_{1} = 1$ to $r = 0$ i $a_{m} = 1$ .
Rozwiązujemy nierówność
$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{m} < 60$
$m \cdot 1 < 60$
$m < 60$
Ponieważ $m$ jest liczbą naturalną dodatnią, więc $m = 1$ , $2$ , $3$ , $\dots$ , $59$ .

Odpowiedź:

Jeśli pierwszy wyraz ciągu jest równy $\frac{1}{2}$ to $m \in \{1, 2, 3, \dots, 14\}$ .

Jeśli pierwszy wyraz ciągu jest równy $1$ , to $m \in \{1, 2, 3, \dots, 59\}$ .

Słownik

ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu

Wprowadzenie

Animacja

Słownik