Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W jaki sposób możemy wyznaczyć zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru? Sposób wyznaczania zbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru zależy od tego jakim zbiorem jest dziedzina funkcji.

Zajmiemy się wyznaczaniem zbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.

Pomogą nam poniższe przykłady.

Przykład 1

Wyznaczymy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji f opisanej za pomocą wzoru.

fx=-2x+3, gdzie x-2, -1, 0, 1, 2, 3.

Rozwiązanie:

Dziedzina jest zbiorem skończonym. Obliczamy wartości funkcji dla wszystkich liczb należących do dziedziny funkcji.

f-2=-2·-2+3=4+3=7

f-1=-2·-1+3=2+3=5

f0=-2·0+3=3

f1=-2·1+3=1

f2=-2·2+3=-4+3=-1

f3=-2·3+3=-6+3=-3

Zatem zbiorem wartości funkcji f jest zbiór -3, -1, 1, 3, 5, 7.

Zapisujemy ZWf=-3, -1, 1, 3, 5, 7.

Przykład 2

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji f opisanej za pomocą wzoru.

fx=-3x+2, gdzie x-3, 3.

Rozwiązanie:

Wyznaczenie zbioru wartości funkcji na podstawie jej wzoru jest zazwyczaj dość trudne. Z tego względu, aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji korzystamy z wykresu funkcji.

W celu naszkicowania wykresu funkcji f wykonamy tabelkę częściową.

x

-3

-2,5

-1

0

1

2,5

3

fx

11

9,5

5

2

-1

-5,5

-7

Obliczmy wartości funkcji dla wybranych liczb z dziedziny.

f-3=-3·-3+2=9+2=11

f-2,5=-3·-2,5+2=7,5+2=9,5

f-1=-3·-1+2=3+2=5

f0=-3·0+2=2

f1=-3·1+2=-3+2=-1

f2,5=-3·2,5+2=-7,5+2=-5,5

f3=-3·3+2=-9+2=-7

Naszkicujmy wykres tej funkcji.

RQ35zmz9uxMP2

Wykresem funkcji fx=-3x+2 dla x-3, 3 jest odcinek.

Zbiór wartości odczytujemy na osi pionowej Y. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział -7, 11.

Zapisujemy ZWf=-7, 11.

R13wzYcUxAXea
Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwunastu do trzynastu i z pionową osią od minus ośmiu do dwunastu. Na płaszczyźnie narysowano ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach -3;113;-7. W aplecie na osi y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli przedział -7,11.
Przykład 3

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji f opisanej za pomocą wzoru.

fx=-5x+1, gdy x.

Rozwiązanie:

Funkcja fx=-5x+1, gdy x, jest określona dla każdego x rzeczywistego, czyli jej zbiorem wartości będą wszystkie liczby rzeczywiste będące wartościami wyrażenia algebraicznego -5x+1. Będą to również wszystkie liczby rzeczywiste.

Zapisujemy ZWf=.

R1Vh0qwxGDvzY
Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do siedmiu i z pionową osią od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący ukośną prostą przebiegającą przez punkty -1;61;-4. W aplecie na osi y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli całą oś reprezentującą zbiór liczb rzeczywistych.
Przykład 4

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji f opisanej za pomocą wzoru.

fx=x+2, gdy x-2, .

Rozwiązanie:

Możemy wykonać to dwoma sposobami.

Sposób pierwszy – naszkicujemy wykres funkcji f i z wykresu odczytamy zbiór wartości funkcji.

R1OAbLGaFsZBM

ZWf=0, 

Sposób drugi – funkcja fx=x+2, jest określona dla każdego x-2. Wartość wyrażenia  x + 2 jest zawsze liczbą nieujemną. Z tego faktu wynika, że zbiorem wartości funkcji f jest przedział 0, .

Zapisujemy ZWf=0, .

RPqwucWaksIQa
Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do dziesięciu i z pionową osią od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący poziomo położonym łukiem o lewym końcu w punkcie -2;0 i nieograniczony prawostronnie. W aplecie na osi y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli dodatnią półoś reprezentującą zbiór 0,+).
Przykład 5

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji f opisanej za pomocą wzoru.

fx=2x2+1, gdzie x.

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji f naszkicujemy wykres funkcji.

Rg5hQ48SfaWK6

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział 1, .

Zapisujemy ZWf=1, .

Rhatj8w9Z2f6w
Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu i z pionową osią od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący parabolą o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w punkcie 0;1. W aplecie na osi Y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli przedział 1,+).
Przykład 6

Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru.

fx=2x-1, gdzie x.

Która, z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji -2, -12, 1, 2, 4?

Rozwiązanie:

Możemy wykonać to dwoma sposobami.

Sposób pierwszy – naszkicujemy wykres funkcji f, z wykresu odczytamy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji i sprawdzimy, która z podanych liczb należy do tego zbioru.

R12yp7AFFuDf9

ZWf=+

Do zbioru wartości funkcji należą liczby rzeczywiste dodatnie. Z tego wynika, że do zbioru wartości funkcji f należą liczby 1, 2, 4.

Sposób drugi – sprawdzimy, rozwiązując odpowiednie równanie, czy podana liczba należy, czy nie należy do zbioru wartości funkcji f. Jeżeli rozwiązaniem równania będzie liczba należąca do dziedziny funkcji f, to podana liczba będzie należała do zbioru wartości funkcji f.

2x-1=-2 – otrzymaliśmy równanie sprzeczne, ponieważ wartość potęgi jest zawsze liczbą dodatnią, gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią. Stąd wniosek, że liczba -2 nie należy do zbioru wartości funkcji f.

2x-1=-12 – otrzymaliśmy równanie sprzeczne, ponieważ wartość potęgi jest zawsze liczbą dodatnią, gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią. Stąd wniosek, że liczba -12 nie należy do zbioru wartości funkcji f.

2x-1=1

2x-1=20

x-1=0

x=1 – otrzymana liczba należy do dziedziny funkcji f. Stąd wnioskujemy, że liczba 1 należy do zbioru wartości funkcji f.

2x-1=2

2x-1=21

x-1=1

x=2 – otrzymana liczba należy do dziedziny funkcji f. Stąd wnioskujemy, że liczba 2 należy do zbioru wartości funkcji f.

2x-1=4

2x-1=22

x-1=2

x=3 – otrzymana liczba należy do dziedziny funkcji f. Stąd wnioskujemy, że liczba 4 należy do zbioru wartości funkcji f.

Rczcqqb4hiJpM
Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do siedmiu i z pionową osią od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji potęgowej f będący nieskończonym łukiem znajdującym się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. W aplecie na osi Y zaznaczono zbiór wartości funkcji, czyli przedział 0,+.
Ważne!

Podsumujmy wiadomości dotyczące sposobu wyznaczania zbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.

  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru i dziedziną funkcji jest zbiór skończony składający się z niewielkiej liczby elementów, to zbiór wartości funkcji wyznaczamy obliczając wartości funkcji dla wszystkich elementów dziedziny funkcji.

  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru i dziedziną funkcji jest zbiór nieskończony, to korzystamy z wykresu funkcji do wyznaczania zbioru wartości funkcji.

Słownik

zbiór wartości funkcji
zbiór wartości funkcji

zbiór liczb, które otrzymujemy w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów