Przeczytaj
W jaki sposób możemy wyznaczyć zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru? Sposób wyznaczania zbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru zależy od tego jakim zbiorem jest dziedzina funkcji.
Zajmiemy się wyznaczaniem zbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
Pomogą nam poniższe przykłady.
Wyznaczymy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
, gdzie .
Rozwiązanie:
Dziedzina jest zbiorem skończonym. Obliczamy wartości funkcji dla wszystkich liczb należących do dziedziny funkcji.
Zatem zbiorem wartości funkcji jest zbiór .
Zapisujemy .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
, gdzie .
Rozwiązanie:
Wyznaczenie zbioru wartości funkcji na podstawie jej wzoru jest zazwyczaj dość trudne. Z tego względu, aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji korzystamy z wykresu funkcji.
W celu naszkicowania wykresu funkcji wykonamy tabelkę częściową.
Obliczmy wartości funkcji dla wybranych liczb z dziedziny.
Naszkicujmy wykres tej funkcji.
Wykresem funkcji dla jest odcinek.
Zbiór wartości odczytujemy na osi pionowej . Zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Zapisujemy .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
, gdy .
Rozwiązanie:
Funkcja , gdy , jest określona dla każdego rzeczywistego, czyli jej zbiorem wartości będą wszystkie liczby rzeczywiste będące wartościami wyrażenia algebraicznego . Będą to również wszystkie liczby rzeczywiste.
Zapisujemy .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
, gdy .
Rozwiązanie:
Możemy wykonać to dwoma sposobami.
Sposób pierwszy – naszkicujemy wykres funkcji i z wykresu odczytamy zbiór wartości funkcji.
Sposób drugi – funkcja , jest określona dla każdego . Wartość wyrażenia jest zawsze liczbą nieujemną. Z tego faktu wynika, że zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Zapisujemy .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
, gdzie .
Rozwiązanie:
W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji naszkicujemy wykres funkcji.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Zapisujemy .
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru.
, gdzie .
Która, z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji ?
Rozwiązanie:
Możemy wykonać to dwoma sposobami.
Sposób pierwszy – naszkicujemy wykres funkcji , z wykresu odczytamy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji i sprawdzimy, która z podanych liczb należy do tego zbioru.
Do zbioru wartości funkcji należą liczby rzeczywiste dodatnie. Z tego wynika, że do zbioru wartości funkcji należą liczby .
Sposób drugi – sprawdzimy, rozwiązując odpowiednie równanie, czy podana liczba należy, czy nie należy do zbioru wartości funkcji . Jeżeli rozwiązaniem równania będzie liczba należąca do dziedziny funkcji , to podana liczba będzie należała do zbioru wartości funkcji .
– otrzymaliśmy równanie sprzeczne, ponieważ wartość potęgi jest zawsze liczbą dodatnią, gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią. Stąd wniosek, że liczba nie należy do zbioru wartości funkcji .
– otrzymaliśmy równanie sprzeczne, ponieważ wartość potęgi jest zawsze liczbą dodatnią, gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią. Stąd wniosek, że liczba nie należy do zbioru wartości funkcji .
– otrzymana liczba należy do dziedziny funkcji . Stąd wnioskujemy, że liczba należy do zbioru wartości funkcji .
– otrzymana liczba należy do dziedziny funkcji . Stąd wnioskujemy, że liczba należy do zbioru wartości funkcji .
– otrzymana liczba należy do dziedziny funkcji . Stąd wnioskujemy, że liczba należy do zbioru wartości funkcji .
Podsumujmy wiadomości dotyczące sposobu wyznaczania zbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.
Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru i dziedziną funkcji jest zbiór skończony składający się z niewielkiej liczby elementów, to zbiór wartości funkcji wyznaczamy obliczając wartości funkcji dla wszystkich elementów dziedziny funkcji.
Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru i dziedziną funkcji jest zbiór nieskończony, to korzystamy z wykresu funkcji do wyznaczania zbioru wartości funkcji.
Słownik
zbiór liczb, które otrzymujemy w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów