Warto przeczytać

Dynamika to dział mechaniki zajmujący się opisem ruchu ciał na skutek przyłożenia do nich sił. Rozpatrując dynamikę bryły sztywnej, będziemy zajmować się oddzielnie dwoma aspektami tego ruchu: ruchem postępowym oraz ruchem obrotowym.

Równania dla ruchu postępowego bryły sztywnej mają taką samą postać jak równania stosowane do opisu ruchu punktu materialnego. Przypomnijmy zatem treść pierwszej i drugiej zasady dynamiki Newtona:

I: Jeśli na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II: Jeśli na ciało o masie $m$ działa niezrównoważona siła wypadkowa $\overrightarrow{F_w}$, ciało to porusza się z przyspieszeniem $\overrightarrow{a}$wprost proporcjonalnym do wartości tej siły i odwrotnie proporcjonalnym do masy tego ciała.

W przypadku bryły sztywnej będziemy stosować te zasady, opisując ruch postępowy jej środka masy, analogicznie jak opisuje się ruch punktu materialnego. Ale bryła sztywna nie jest punktem materialnym – ma również możliwość obracania się wokół osi przechodzącej przez jej środek masy lub innej osi. Dlatego do opisu ruchu bryły sztywnej musimy znać również równania dotyczące jej ruchu obrotowego. Zasady dynamiki dla ruchu obrotowego mają następującą postać:

I: Jeśli na bryłę sztywną nie działają żadne momenty siły lub działające momenty siły się równoważą, bryła ta pozostaje w spoczynku lub obraca się ruchem jednostajnym.

II: Jeśli na bryłę sztywną o momencie bezwładności $I$ działa niezrównoważony wypadkowy moment siły $\overrightarrow{M}$, to bryła ta obraca się z przyspieszeniem kątowym $\overrightarrow{\epsilon }$wprost proporcjonalnym do wartości tego momentu siły i odwrotnie proporcjonalnym do momentu bezwładności tej bryły.

Przyjmijmy, że wartość wypadkowego momentu siły jest stała, $\overrightarrow{M}=const.$ = const. Korzystając z definicji przyspieszenia kątowego jako zmiany prędkości kątowej w czasie, $\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{\mathrm{\Delta }t}$, możemy zapisać rozwiązanie równań dynamicznych w następującej postaci:

gdzie $\alpha$ – kąt, o jaki obróciła się bryła sztywna, $𝛚-$ - prędkość kątowa tej bryły.

Równania te opisują kinematykę ruchu obrotowego jednostajnie przyspieszonego. Jeśli przyjmiemy, że wypadkowy moment siły wynosi zero, czyli przyspieszenie kątowe również wynosi zero, otrzymamy równania opisujące jednostajny ruch obrotowy:

Oczywiście rozpatrujemy tu względnie proste sytuacje, w których wartość siły i momentu siły jest stała. W ogólności wartość siły i momentu siły nie muszą być stałe w czasie. W takich wypadkach rozwiązanie równań dynamicznych wymaga znajomości rachunku różniczkowo‑całkowego.

Zastosujmy zasady dynamiki ruchu obrotowego w praktyce. Przyjrzyjmy się wiatrakowi, którego ramiona obracają się pod wpływem wiatru (Rys. 2.).

RzQC6BKooBINC

Rys. 2. Zdjęcie przedstawia stary wiatrak o walcowatym kształcie. Do górnej, bocznej części przyczepiony jest pionowy wirnik składający się z czterech jednakowych, dużych skrzydeł. Długość skrzydła oznaczona jest literą wielkie R, a szerokość skrzydła literą małe w. Poziome strzałki skierowane w lewo, prostopadle do powierzchni wirnika, wskazują kierunek wiatru. Prędkość wiatru oznaczona jest literą małe v. Nad wirnikiem zapisano wzór na ciśnienie wywierane przez wiatr na skrzydła wiatraka: małe p równa się jedna druga razy małe d razy małe v do kwadratu.

Przyjmijmy, że wiatr wieje z prędkością $v$. Oznacza to, że wywiera on ciśnienie $p$ na skrzydła wiatraka. Przyjmijmy dla uproszczenia, że wiatr wieje w kierunku prostopadłym do powierzchni wiatraka i wywiera stałe ciśnienie na całą powierzchnię skrzydła. Przyjmijmy, że ramię wiatraka jest prostopadłościanem o grubości $h$, długości $R$ i szerokości $w$, zatem jego powierzchnia $S$ wynosi:

Ciśnienie wiatru, w uproszczeniu, oblicza się jako następujący iloczyn:

gdzie $d$– gęstość powietrza (około 1,25 $\frac{\mathrm{\text{kg}}}{m^3}$), $v$ – prędkość wiatru.

Ciśnienie p jest zdefiniowane jako iloraz wartości siły F działającej prostopadle do powierzchni S i powierzchni, na którą działa ta siła : $p=\frac{F}{S}$. Zatem parcieparcieparcie $F_p$, czyli siła powstająca na skutek działania ciśnienia wiatru, to iloczyn $F_p=pS=pRw$. ParcieparcieParcie wiatru na pojedyncze skrzydło wiatraka wyniesie zatem:

W rzeczywistych układach łopaty wiatraka tworzą pewien kąt z osią, na której są umieszczone, lub mają kształt skrzydła. Nie wchodząc w takie dywagacje przyjmijmy, że to właśnie moment obliczonej siły $F_p$ będzie powodował obrót skrzydła wiatraka. Moment ten przyłożony będzie w środku masy skrzydła, czyli w połowie jego długości R. Moment siły przyłożony do pojedynczego skrzydła wyniesie zatem:

Zastanówmy się teraz, jaki jest moment bezwładności takiego pojedynczego skrzydła. Najpierw zwróćmy uwagę, że jest to prostopadłościan, więc jego moment bezwładności $I_0$ względem osi, wzdłuż której wieje wiatr wyniesie:

Jednakże skrzydło to obraca się wokół osi przechodzącej nie przez środek masy, a przez bok tego prostopadłościanu. Korzystając z twierdzenia Steineratwierdzenie Steineratwierdzenia Steinera możemy zapisać, że moment bezwładności względem osi wiatraka wynosi $I=I_0+I_s$, gdzie

Całkowity moment bezwładności tego skrzydła względem przyjętej osi obrotu wyniesie zatem:

Wiemy zatem, jaki jest moment siły i moment bezwładności, możemy więc obliczyć przyspieszenie kątowe, jakiego doznaje to skrzydło. Z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego:

Zwróćmy uwagę, że masa skrzydła to iloczyn jego gęstości $\rho$ i objętości $V=Rwh$, możemy więc ten wzór uprościć:

Weźmy teraz pod uwagę, że szerokość ramienia wiatraka $w$ jest mała w porównaniu z jego długością $R$. Znaczy to, że $w^2$ można pominąć jako dużo mniejsze od $4R^2$. W tym przybliżeniu otrzymujemy wzór:

Wynik może być zaskakujący – otrzymaliśmy wzór, z którego wynika, że nie ma sensu robienie wiatraków z długimi ramionami! Czy oznacza to, że inżynierowie i konstruktorzy od stuleci popełniali elementarny błąd, konstruując wiatraki o możliwie długich ramionach? Nie. Oznacza to, że przyjęliśmy do obliczeń mało realistyczny model wiatraka! Założyliśmy, że skrzydło jest jednorodnym prostopadłościanem. Owszem, im większy promień skrzydła, tym większa jego powierzchnia – a zatem i parcieparcieparcie wiatru na to skrzydło. Jednakże większy promień oznacza również większy moment bezwładności. Te dwie wielkości się kompensują, co sprawia, że nie ma sensu budowa bardzo długiego skrzydła o takiej konstrukcji (a dla krótszych ramion powyższe przybliżenie jest nieuprawnione).

Dawni konstruktorzy o tym wiedzieli – dlatego budowali np. drewniany szkielet skrzydła i pokrywali go materiałem. W ten sposób zwiększali znacząco powierzchnię skrzydła, nie zwiększając drastycznie jego momentu bezwładności. Współcześni konstruktorzy poszli krok dalej, zmieniając konstrukcję samego ramienia – nie jest to już płaska powierzchnia, wykorzystująca parcieparcieparcie wiatru. Obecnie ramiona mają profil skrzydła, czyli powietrze opływa wyprofilowane skrzydło z różnymi prędkościami, powodując powstanie różnicy ciśnień, a przez to powstanie siły nośnej, prostopadłej do powierzchni skrzydła. Siła ta wprawia ramiona w ruch obrotowy. Dawniej ruch ten wykorzystywano do napędzania mechanizmów mielących zboże. Dziś obracający się wirnik jest częścią układu generującego energię elektryczną, jak w konstrukcjach na Rys. 3.

RI2gXjsrj1BJa

Rys. 3. Zdjęcie przedstawia nowoczesną farmę wiatrową. 8 jednakowych wiatraków stoi w dużych odległościach od siebie na pustym polu. Każdy wiatrak to wysoki, cienki, metalowy słup, na którego górnym końcu przyczepiony jest pionowy wirnik składający się z trzech długich, zwężanych na końcach skrzydeł. Wirniki wszystkich wiatraków zwrócone są w jedną stronę.

Słowniczek