${\log }_{3}9=2$, bo $3^2=9$

${\log }_{2}16=4$, bo $2^4=16$

${\log }_{5}5=1$, bo $5^1=5$

${\log }_{6}1=0$, bo $6^0=1$

${\log }_7\frac{1}{49}=-2$, bo $7^{-2}=\frac{1}{49}$

${\log }_{64}4=\frac{1}{3}$, bo ${64}^{\frac{1}{3}}=4$

${\log }_{\sqrt{2}}2\sqrt{2}=3$, bo ${\left(\sqrt{2}\right)}^3=2\sqrt{2}$

$\log 100=2$, bo ${10}^2=100$

$\log \frac{1}{1000}=-3$, bo ${10}^{-3}=\frac{1}{1000}$

$\log 0,01=-2$, bo ${10}^{-2}=0,01$

$\log \sqrt[3]{100}=\frac{2}{3}$, bo ${10}^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{100}$

Rozważmy ${\log }_{2}3$. Udowodnimy, że jest to liczba niewymierna. Dowód przeprowadzimy metodą nie wprost.

Sprawdźmy, do czego doprowadziłoby nas przypuszczenie, że ${\log }_{2}3$ jest liczbą wymierną. Ponieważ każdą liczbę wymierną można zapisać jako ułamek zwykły nieskracalny, to istnieją liczby całkowite $p$ i $q$, dla których ${\log }_{2}3=\frac{p}{q}$.

Zauważmy ponadto, że ${\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$. Zatem ${\log }_{2}3$ jest liczbą dodatnią, możemy więc przyjąć założenie, że $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi dodatnimi. Wprost z definicji logarytmu wynika, że $2^{\frac{p}{q}}=3$. Obie strony tego równania są nieujemne, możemy je podnieść do potęgi $q$, otrzymując równanie równoważne $2^p=3^q$.

Ponieważ $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, więc lewa strona równania jest iloczynem samych dwójek, zaś prawa – iloczynem samych trójek. Zatem nie jest możliwe, aby obie strony były równe.

Przypuszczenie, że ${\log }_{2}3$ jest liczbą wymierną, doprowadziło do sprzeczności, zatem ${\log }_{2}3$ nie może być liczbą wymierną, czyli ${\log }_{2}3$ jest liczbą niewymierną.

działanie odwrotne do potęgowania

wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę potęgi, aby otrzymać liczbę logarytmowaną:

${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$, $a>0$, $a\ne 1$,$b>0$