Zanim przejdziemy do wyznaczenia obrazu prostej w przesunięciu o wektor przypomnimy podstawowe wiadomości dotyczące tego przekształcenia.
Przesunięcie (translacja) o wektor
Definicja: Przesunięcie (translacja) o wektor
Przesunięciem (translacją) o wektor nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi płaszczyzny (przestrzeni) takiego punktu , że:
.
RR5H7vtcFZN42
Wyznaczymy teraz współrzędne obrazu danego punktu.
Załóżmy, że obrazem punktu w przesunięciu o wektorprzesunięcie (translacja) o wektorprzesunięciu o wektor jest punkt . Współrzędne wektora zapisujemy następująco:
.
Dwa wektory są równe, gdy mają równe odpowiednie współrzędne, stąd
,
a zatem
.
Izometria
Definicja: Izometria
Przekształcenie płaszczyzny na siebie zachowujące odległości punktów nazywamy izometrią.
Wykażemy teraz, że przesunięcie o wektor jest izometrią.
Niech i będą dowolnymi punktami płaszczyzny a dowolnym wektorem. Umieszczamy w układzie współrzędnych punkty i oraz wektor .
Obrazy i punktów i w przesunięciu o wektor mają współrzędne i .
Ponieważ oraz wnioskujemy, że: i .
Wyznaczymy długość odcinka :
.
Zatem każde przesunięcie o wektorprzesunięcie (translacja) o wektorprzesunięcie o wektor jest izometrią, co oznacza, że obrazem prostej w przesunięciu o wektor jest też prosta.
Udowodnimy teraz, że obrazem prostej w przesunięciu o wektor jest prosta do niej równoległa.
Rozważymy dwie sytuacje: gdy prosta jest postaci lub postaci .
Korzystamy ze związków między współrzędnymi punktu i jego obrazu :
,
z których otrzymujemy:
.
Wyznaczone wartości , podstawiamy do równania prostej i otrzymujemy równanie jej obrazu w postaci:
, stąd .
Zatem obrazem prostej o równaniu , w przesunięciu o wektor jest prosta o równaniu
.
Zauważmy, że w równaniach obu prostych współczynniki kierunkowe są równe, czyli proste są równoległe.
Wykażemy teraz, że obrazem prostej jest prosta do niej równoległa.
Wykorzystując związki
dostajemy prostą o równaniu czyli .
Zatem obrazem prostej o równaniu w przesunięciu o wektor jest prosta o równaniu . Jest to równanie prostej równoległej do prostej .
Obrazem prostej w przesunięciu o wektor jest prosta do niej równoległa.
Przykład 1
Wyznaczymy równanie obrazu prostej o równaniu w przesunięciu o wektor .
Rozwiązanie:
Korzystając ze związków pomiędzy współrzędnymi punktu i jego obrazu w przesunięciu o wektor mamy:
, stąd ,
, stąd .
Podstawiając wyznaczone wielkości i do wzoru otrzymujemy
więc .
Prosta o równaniu jest obrazem prostej po przesunięciu o wektor .
Przykład 2
Wyznaczymy współrzędne wektora, o który należy przesunąć prostą o równaniu , aby otrzymać prostą o równaniu .
Rozwiązanie:
Korzystając z równania obrazu prostej o równaniu w przesunięciu o wektor mamy
.
Obrazem prostej ma być prosta , stąd: .
Otrzymujemy następującą zależność między współrzędnymi i wektora :
.
Każda para liczb i spełniająca warunek wyznacza współrzędne wektora tego przesunięcia.
Stąd: .
Przykład 3
Wyznaczymy współrzędne niezerowego wektora, o który należy przesunąć prostą , aby otrzymać prostą o tym samym równaniu.
Rozwiązanie:
Korzystając z równania obrazu prostej o równaniu w przesunięciu o wektor mamy
.
Prosta ma być postaci , stąd: więc: .
Stąd: , gdzie .
Przykład 4
Obliczymy pole figury ograniczonej osiami układu współrzędnych, prostą oraz obrazem tej prostej w przesunięciu o wektor .
Rozwiązanie:
Napiszemy równanie obrazu prostej w przesunięciu o wektor .
Korzystając z równania obrazu prostej o równaniu w przesunięciu o wektor otrzymujemy: ,
zatem: .
Wyznaczamy punkty przecięcia prostych z osiami układu współrzędnych.
Punkt przecięcia prostej o równaniu z osią : ; z osią : .
Punkt przecięcia prostej z osią : ; z osią : .
Rysujemy wykresy obu prostych:
R1Q94MQlQJkec
Z rysunku wynika, że otrzymaną figurą jest trapez.
R1WfdHHCWuDBl
Obliczamy długości podstaw trapezu, korzystając ze wzoru: na odległość dwóch punktów: ,
.
Długość wysokości jest równa odległości punktu od prostej .
Wykorzystamy wzór: na odległość punktu od prostej .
Równanie prostej zapisujemy w postaci ogólnej: .
Obliczamy wysokość trapezu:
.
Korzystamy ze wzoru na pole trapezu: , gdzie - długości podstaw trapezu a - długość jego wysokości.
Ostatecznie otrzymujemy: .
Pole trapezu wynosi .
Pokażemy drugą metodę rozwiązania tego zadania.
Możemy zauważyć, że szukane pole trapezu jest różnicą pól dwóch trójkątów: trójkąta prostokątnego i trójkąta prostokątnego .
Rtnew9rt4brTn
Obliczamy pole trójkąta : .
Obliczamy pole trójkąta : .
Pole trapezu: , więc .
Odpowiedź:
Pole figury ograniczonej osiami układu współrzędnych, prostą oraz obrazem tej prostej w przesunięciu o wektor wynosi .
Słownik
przesunięcie (translacja) o wektor
przesunięcie (translacja) o wektor
przesunięcie o wektor to przyporządkowanie każdemu punktowi płaszczyzny (przestrzeni) takiego punktu , że: