Przeczytaj

Arytmetyka to jedna z najważniejszych dziedzin matematyki elementarnej. Jest ściśle związana z teorią liczb, czyli dziedziną matematyki zajmującej się badaniem własności liczb, jak również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych i całkowitych. W tym materiale pokażemy, jak można własności liczb udowodnić za pomocą aparatu algebraicznego.

Niektóre liczby, będące sześcianami liczb naturalnych, można przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych.

Na przykład:

5^{3} = 5^{2} + 10^{2}

Przykład 1

Wykażemy, że istnieje taka liczba naturalna a, że sześcian tej liczby jest równy sumie kwadratów liczb $a - 3$ i $2 a + 1$ .

Zapisujemy równanie wynikające z treści zadania.

$a^{3} = {(a - 3)}^{2} + {(2 a + 1)}^{2}$ .

Przekształcamy prawą stronę równania, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

$a^{3} = a^{2} - 6 a + 9 + 4 a^{2} + 4 a + 1$

$a^{3} - 5 a^{2} + 2 a - 10 = 0$ .

Rozkładamy na czynniki zapisane wyrażenie.

$a^{2} (a - 5) + 2 (a - 5) = 0$

$(a - 5) (a^{2} + 2) = 0$

$a - 5 = 0 \Rightarrow a = 5$

lub

$a^{2} + 2 = 0$ - równanie nie ma rozwiązania.

Liczba $5$ jest liczbą naturalną, zatem spełnia warunki zadania:

$5^{3} = 2^{2} + 11^{2}$ .

Przykład 2

Łatwo można udowodnić, że każda liczba podzielna przez $3$ jest sumą czterech sześcianów liczb całkowitych. Wynika to bezpośrednio z tożsamości:

$6 k = {(k + 1)}^{3} + {(k - 1)}^{3} + {(- k)}^{3} + {(- k)}^{3}$

$6 k + 3 = {(4 - k)}^{3} + {(2 k - 5)}^{3} + {(4 - 2 k)}^{3} + k^{3}$ .

Wykażemy, że liczbę $45$ można zapisać w postaci sumy czterech sześcianów liczb całkowitych.

$45 = 6 \cdot 7 + 3$ .

Skorzystamy z drugiej z poznanych tożsamości, dla $k = 7$ .

$45 = {(4 - 7)}^{3} + {(2 \cdot 7 - 5)}^{3} + {(4 - 2 \cdot 7)}^{3} + 7^{3}$

$45 = {(- 3)}^{3} + 9^{3} + {(- 10)}^{3} + 7^{3}$

$45 = - 27 + 729 - 1000 + 343$

$45 = 45$ .

Zatem wykazaliśmy, że liczbę $45$ można zapisać w postaci sumy sześcianów liczb całkowitych:

$45 = {(- 10)}^{3} + {(- 3)}^{3} + 7^{3} + 9^{3}$ .

Udowodnimy teraz ciekawe twierdzenie, bardzo przydatne w rozwiązywaniu zadań z teorii liczb.

Przykład 3

Wykażemy, że iloczyn dwóch czynników, z których każdy jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, jest również sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Niech $a$ , $b$ , $c$ , $d$ będą dowolnymi liczbami całkowitymi.

Wtedy $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$ to iloczyn sumy kwadratów tych liczb.

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = a^{2} \cdot c^{2} + a^{2} \cdot d^{2} + b^{2} \cdot c^{2} + b^{2} \cdot d^{2}$ .

Dodajemy i odejmujemy $2 a b c d$ i odpowiednio grupujemy wyrazy.

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a^{2} \cdot c^{2} + 2 a b c d + b^{2} \cdot d^{2}) +$

$+ (a^{2} \cdot d^{2} - 2 a b c d + b^{2} \cdot c^{2})$ .

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = {(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2}

Ponieważ $a$ , $b$ , $c$ , $d$ to liczby całkowite, zatem $a c + b d$ i $a d - b c$ to też liczby całkowite, co należało wykazać.

Ilustracją zależności udowodnionej w powyższym przykładzie, może być tożsamość:

$(2^{2} + 3^{2}) (1^{2} + 5^{2}) = 7^{2} + 17^{2}$ .

Przypomnimy teraz wzór na różnicę $n$ – tych potęg dwóch wyrażeń.

Wzór na różnicę $n$ – tych potęg

Dla liczb rzeczywistych $x$ , $y$ i dowolnej liczby naturalnej $n \geq 1$ prawdziwy jest wzór:

x^{n} - y^{n} = (x - y) (x^{n - 1} + x^{n - 2} y + \dots + x y^{n - 2} + y^{n - 1})

Ze wzoru na różnicę $n$ – tych potęg wynika bezpośrednio, że $x^{n} - y^{n}$ dzieli się przez $x - y$ dla nieparzystych wykładników $n$ , a dla $n$ parzystych, dzieli się również przez $x + y$ .

Wzór na różnicę $n$ – tych potęg , dla $n$ parzystych

Dla liczb rzeczywistych $x$ , $y$ i dowolnej liczby naturalnej parzystej $n \geq 1$ prawdziwy jest wzór

x^{n} - y^{n} = (x + y) (x^{n - 1} - x^{n - 2} y + \dots + x y^{n - 2} - y^{n - 1})

W przypadku, gdy $n$ jest liczbą nieparzystą, podstawiając za $y$ we wzorze na różnicę
$n$ – tych potęg $(- y)$ , otrzymujemy wzór na sumę $n$ – tych potęgwzór na sumę $n$ - tych potęgwzór na sumę $n$ – tych potęg.

Wzór na sumę $n$ - tych potęg

Dla liczb rzeczywistych $x$ , $y$ i dowolnej liczby naturalnej nieparzystej $n$ prawdziwy jest wzór

x^{n} + y^{n} = (x + y) (x^{n - 1} - x^{n - 2} y + \dots - x y^{n - 2} + y^{n - 1})

Na podstawie poznanych wzorów można stwierdzić na przykład, że liczba $2^{n} - 1$ jest podzielna:

przez $3$ dla $n$ parzystych,
przez $5$ dla $n = 4 k$ , gdzie $k \in ℕ_{+}$
przez $7$ dla $n = 3 k$ , gdzie $k \in ℕ_{+}$

Przykład 4

Wykażemy, że liczba $K = 7^{10} - 6^{10}$ jest podzielna przez $13$ .

Skorzystamy ze wzoru na różnicę $n$ – tych potęgwzór na różnicę $n$ - tych potęgwzoru na różnicę $n$ – tych potęg, dla $n$ parzystych.

$K = 7^{10} - 6^{10} = (7 + 6) (7^{10 - 1} - 7^{10 - 2} \cdot 6 + \dots + 7 \cdot 6^{10 - 2} - 6^{10 - 1})$

$K = 13 \cdot (7^{9} - 7^{8} \cdot 6 + \dots + 7 \cdot 6^{8} - 6^{9})$

$K = 13 t$ , gdzie $t = 7^{9} - 7^{8} \cdot 6 + \dots + 7 \cdot 6^{8} - 6^{9}$

Liczba $t$ jest liczbą całkowitą, jako suma liczb całkowitych.

Liczba $K$ jest więc iloczynem liczby $13$ i liczby całkowitej, jest więc podzielna przez $13$ , co należało wykazać.

W ostatnim przykładzie rozważymy równanie, którego rozwiązanie wydaje się na pierwszy rzut oka niemożliwe. Oczywiście, można odgadnąć, jakie liczby spełniają to równanie, ale wtedy trudno jest uzasadnić, że to są jedyne takie liczby. My do znalezienia rozwiązań wykorzystamy własności liczb pierwszych.

Przykład 5

Udowodnimy, że równanie

$2 x^{3} + x y - 11 = 0$

ma rozwiązanie w liczbach naturalnych.

Zapisujemy równanie w takiej postaci, aby po jednej stronie równania znalazły się niewiadome, a po drugiej wiadome.

$2 x^{3} + x y = 11$ .

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci iloczynu.

$x (2 x^{2} + y) = 11$ .

Prawą stronę równania również zapisujemy w postaci iloczynu. Liczba $11$ jest liczbą pierwszą, więc można ją zapisać w postaci iloczynu tylko jednym sposobem.

$x (2 x^{2} + y) = 1 \cdot 11$ .

Ponieważ $x$ , $y$ to liczby naturalne, zatem $2 x^{2} + y > x$ , czyli

$x = 1$ i $2 x^{2} + y = 11$ ,

stąd

$x = 1$ i $y = 9$ .

Szukane liczby to $x = 1$ i $y = 9$ .

Słownik

wzór na różnicę

n

- tych potęg

wzór na różnicę

n

- tych potęg

dla liczb rzeczywistych $x$ , $y$ i dowolnej liczby naturalnej $n \geq 1$ prawdziwy jest wzór

x^{n} - y^{n} = (x - y) (x^{n - 1} + x^{n - 2} y + \dots + x y^{n - 2} + y^{n - 1})

wzór na sumę

n

- tych potęg

wzór na sumę

n

- tych potęg

dla liczb rzeczywistych $x$ , $y$ i dowolnej liczby naturalnej nieparzystej $n$ prawdziwy jest wzór

x^{n} + y^{n} = (x + y) (x^{n - 1} - x^{n - 2} y + \dots - x y^{n - 2} + y^{n - 1})

Wprowadzenie

Animacja

Wzór na różnicę $n$ – tych potęg

Wzór na różnicę $n$ – tych potęg , dla $n$ parzystych

Wzór na sumę $n$ - tych potęg

Słownik

Wprowadzenie

Animacja

Przeczytaj

Wzór na różnicę n – tych potęg

Wzór na różnicę n – tych potęg , dla n parzystych

Wzór na sumę n - tych potęg

Słownik

Wzór na różnicę $n$ – tych potęg

Wzór na różnicę $n$ – tych potęg , dla $n$ parzystych

Wzór na sumę $n$ - tych potęg