Przeczytaj

Miejsce zerowe funkcji

Definicja: Miejsce zerowe funkcji

Miejscem zerowym funkcji nazywamy argument, dla którego wartość funkcji jest równa $0$ .

Zbiór miejsc zerowych funkcji

Definicja: Zbiór miejsc zerowych funkcji

Zbiorem miejsc zerowych funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość $0$ .

Wiemy, że funkcję możemy opisywać różnymi sposobami. Poznamy sposoby wyznaczania miejsca zerowego funkcji w zależności od sposobu jej opisu. Pomogą nam w tym poniższe przykłady.

Przykład 1

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą grafu.

Rh689nGNKVza2

Graf składa się z dwóch pionowo ustawionych elips reprezentujących odpowiednio: lewa zbiór X, prawa zbiór Y. Z liczb będących elementami zbioru X poprowadzone są strzałki z grotami skierowanymi do elementów ze zbioru Y. Nad strzałkami widnieje litera „f” oznaczająca funkcję odwzorowującą zbiór X w zbiór Y. Wszystkie elementy z obu zbiorów mają parę. Pary są następujące: minus 4, minus 5; minus 2, minus 3; minus 1, 0; minus pięć dziesiątych, dwa i pół; 0, 2; 2, 3; 4, 7.

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Wśród wartości funkcji $f$ , które są umieszczone w prawej części grafu oznaczonej literą $Y$ , szukamy liczby $0$ .

W następnym kroku przesuwamy się wzdłuż strzałki do lewej części grafu oznaczonej literą $X$ .

Liczba $0 \in Y$ połączona jest z liczbą $- 1 \in X$ .

Stąd możemy zapisać, że miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $- 1$ . Często miejsce zerowe oznaczamy $x_{0}$ . Możemy więc zapisać, że $x_{0} = - 1$ .

Przykład 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$5, 5$	$- 3, 6$	$- 1, 4$	$0$	$1, 3$	$2, 6$	$3$	$4, 7$	$5$
$f (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$2$	$3, 5$	$4, 6$	$5, 8$	$6$	$8$

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

W drugim wierszu, oznaczonym symbolem $f (x)$ , szukamy liczby $0$ .

Następnie w wierszu pierwszym, oznaczonym symbolem $x$ , szukamy odpowiedniego argumentu.

Jest nim liczba $- 1, 4$ .

Stąd możemy zapisać, że miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $- 1, 4$ .

Zapisujemy to symbolicznie $x_{0} = - 1, 4$ .

Przykład 3

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego. Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej $x$ , takiej, że $x \in \{- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2\}$ przyporządkowuje różnicę wartości bezwzględnej liczby $x$ i liczby $3$ .

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Przykład ten możemy rozwiązać dwoma sposobami.

Sposób pierwszy

Ponieważ do dziedziny należy tylko siedem liczb, to możemy wykonać tabelkę i z tabelki odczytać miejsce zerowe.

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$- 1$

Zauważamy, że miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $- 3$ .

Zapisujemy symbolicznie $x_{0} = - 3$ .

Sposób drugi

Zapiszemy funkcję $f$ za pomocą wzoru.

$f (x) = |x| - 3$ , gdy $x \in \{- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2\}$ .

Rozwiążemy równanie $f (x) = 0$ .

$|x| - 3 = 0$

$|x| = 3$

$x = - 3$ lub $x = 3$ .

Równanie jest spełnione przez dwie liczby $3$ i $- 3$ .

Sprawdzamy, która z liczb spełniających równanie, należy do dziedziny funkcji.

Do dziedziny funkcji należy liczba $- 3$ .

Stąd miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $- 3$ .

Zapisujemy symbolicznie $x_{0} = - 3$ .

Przykład 4

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{(- 4,4; - 2,4), (- 3,7; - 1,7), (- 2; 0), (1; 1), (3,3; 5,3), (5; 7)\}$

Wyznaczymy miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Para uporządkowana jest postaci $(x, f (x))$ , tzn., że na pierwszym miejscu w każdej parze znajduje się element należący do dziedziny funkcji, a na drugim odpowiadająca temu elementowi wartość funkcji.

Wśród elementów zbioru par uporządkowanych wybieramy tę parę, w której na drugim miejscu jest $0$ .

Jest to para to para $(- 2, 0)$ .

Stąd miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $- 2$ .

Zapisujemy symbolicznie $x_{0} = - 2$ .

Ile miejsc zerowych może posiadać funkcja liczbowa?

Odpowiedź na to pytanie uzyskamy analizując kolejne przykłady.

Przykład 5

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot |x - 3| + 3$ , gdy $x \in ⟨- 4, 10⟩$ .

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji $f$ należy rozwiązać równanie $f (x) = 0$ i sprawdzić, czy otrzymane pierwiastki równania należą do dziedziny funkcji.

$- \frac{1}{2} \cdot |x - 3| + 3 = 0$

$- \frac{1}{2} \cdot |x - 3| = - 3 | \cdot (- 2)$

$|x - 3| = 6$

$x - 3 = - 6 \lor x - 3 = 6$

$x = - 3 \lor x = 9$

Otrzymaliśmy dwie liczby, które spełniają równanie $f (x) = 0$ .

Sprawdzamy, która z liczb należy do dziedziny funkcji $f$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨- 4, 10⟩$ .

Zarówno liczba $- 3$ , jak i liczba $9$ należą do dziedziny funkcji.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe: $- 3$ i $9$ .

Zapisujemy to symbolicznie $x_{0_{1}} = - 3$ , $x_{0_{2}} = 9$ .

Przykład 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1TSDuKuamprB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie widnieją trzy odcinki będące wykresem funkcji f. Końce pierwszego odcinka znajdują się odpowiednio w punktach minus 6, 3 oraz minus 2, minus 1. Końce drugiego odcinka, który jest odcinkiem otwartym znajdują się w punktach: minus 1 minus 2 oraz 2, 1. Końce trzeciego odcinka znajdują się w punktach o współrzędnych 2, 3 oraz 6, minus 3.

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f$ przecina oś $X$ w trzech punktach: $(- 3, 0)$ , $(1, 0)$ , $(4, 0)$ .

Funkcja ta ma trzy miejsca zerowe: $- 3$ , $1$ , $4$ .

Podsumujmy nasze wiadomości

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą grafu, to miejscem zerowym funkcji jest argument, należący do zbioru oznaczonego literą $X$ , który jest połączony strzałką z liczbą $0$ znajdującą się w zbiorze $Y$ .

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą tabelki, to miejscem zerowym funkcji jest argument, zapisany w wierszu pierwszym, oznaczonym symbolem $x$ , któremu odpowiada wartość funkcji równa $0$ .

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru, to miejscem zerowym funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejscem zerowym funkcji jest pierwiastek równania $f (x) = 0$ wtedy, gdy należy on do dziedziny funkcji $f$ .

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wykresu, to miejscem zerowym funkcji jest pierwsza współrzędna wykresu funkcji i osi $X$ .

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych, to miejscem zerowym funkcji jest liczba, zapisana na pierwszym miejscu w tej parze, w której na drugim miejscu znajduje się $0$ .

Czy każda funkcja liczbowa posiada miejsce zerowe?

W odpowiedzi na powyższe pytanie pomoże nam kolejny przykład.

Przykład 7

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RAOhmHv0hvI0N

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowana jest parabola o ramionach skierowanych do góry będąca wykresem funkcji f. Wierzchołek paraboli ma współrzędne 0 1.

Wyznaczymy, o ile istnieje, miejsce zerowe funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji $f$ .

Odczytujemy go na osi $Y$ .

$Z W_{f} = ⟨1, \infty)$ .

Możemy zauważyć, że $0 \notin Z W_{f}$ .

Wynika z tego, że funkcja $f$ nie posiada miejsca zerowego.

Ważne!

Pamiętajmy, że funkcja będzie posiadała miejsce zerowe tylko wtedy, gdy do zbioru wartości tej funkcji będzie należała liczba $0$ .

Słownik

miejsce zerowe funkcji

argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero

Wprowadzenie

Animacja

Słownik