Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Okręgiem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów P płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r.

Punkt P leży na okręgu o środku w punkcie O=a,b i promieniu r wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi OP=r.

Możemy powyższy warunek zapisać następująco x-a2+y-b2=r, co prowadzi do równości x-a2+y-b2=r2 przedstawiającej okrąg o środku w punkcie a, b i promieniu r.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy punkty A=3,0B=2,1 należą do okręguokrąg o środku O i promieniu rokręgu x2+y2=9.

Rozwiązanie

Dany punkt należy do okręgu, gdy jego współrzędne spełniają równanie tego okręgu.

Sprawdzamy, czy współrzędne punktu A=3,0 spełniają równanie okręgu x2+y2=9.

Punkt A należy do okręgu, bo 32+02=9.

Sprawdzamy, czy współrzędne punktu B=2,1 spełniają równanie okręgu x2+y2=9.

Punkt B nie należy do okręgu, bo 22+12=59.

Przykład 2

Wyznaczymy wartości parametru p, dla których punkt P=p,2 należy do okręgu x2+y+12=25.

Rozwiązanie

Podstawiamy współrzędne punktu P do równania okręgu:

p2+2+12=25

p2=16

Zatem:

p=4 lub p=-4.

Dla p=-4p=4, punkt P należy do okręgu x2+y+12=25.

Przykład 3

Wyznaczymy równanie okręgu, do którego należą punkty A=2,3,B=-1,4,C=-1,-5.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć równanie okręgu, musimy wyznaczyć jego środek O=a,b i promień r. Punkty A, B, C, leżą na okręgu, czyli ich współrzędne spełniają równanie okręgu. Podstawmy zatem współrzędne tych punktów do równania x-a2+y-b2=r2

Otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:

2-a2+3-b2=r2-1-a2+4-b2=r2-1-a2+-5-b2=r2

4-4a+a2+9-6b+b2=r21+2a+a2+16-8b+b2=r21+2a+a2+25+10b+b2=r2

Od pierwszego równania odejmujemy drugie:

4-1-4a-2a+9-16-6b+8b=0,

następnie od drugiego odejmujemy trzecie:

1-1+2a-2a+16-25-8b-10b=0.

Po redukcji otrzymujemy układ:

-6a+2b-4=0-18b-9=0,

-18b=9, stąd b=-12.

Obliczamy a podstawiając b=12 do równania -6 a+2b-4=0:

-6a+2·-12-4=0,-6a-1-4=0,-6a=5, stąd a=-56.

Środkiem okręgu jest punkt O=-56,-12.

Długość promienia jest równa odległości środka okręgu od dowolnego punktu na okręgu, czyli np. od punktu A=2; 3. Ze wzoru na odległość dwóch punktów:

r=OA=2--562+3--122=28936+794=73036=36518

Równanie okręgu: x+562+y+122=36518.

Ważne!

Jeżeli mamy trzy niewspółliniowe punkty ABC, to możemy przez te punkty poprowadzić okrąg, którego środek leży na przecięciu symetralnych odcinkówsymetralna odcinkasymetralnych odcinków ABBC.

Uzasadnienie.

Niech punkt D będzie punktem przecięcia symetralnych odcinków ABBC. Punkt D leży na symetralnej odcinka AB, więc AD=BD. Punkt D leży również na symetralnej odcinka BC, więc BD=CD. Stąd wynika, że AD=CD. Wobec tego, punkt D jest jednakowo oddalony od każdego z punktów A,B,C, czyli AD=BD=CD=r.

Opiszemy teraz działania, jakie musimy wykonać, aby wyznaczyć równanie okręgu, do którego należą trzy punkty.

I. Piszemy równanie symetralnej SAB odcinka AB – symetralna SAB jest prostopadła do odcinka AB i przechodzi przez jego środek o współrzędnych xA+xB2,yA+yB2.

  1. Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB. Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A=xA,yAB=xB,yB obliczymy podstawiając współrzędne punktów A i B do równania prostej y=ax+b
    yB=aABxB+byA=aABxA+b.
    Odejmując od górnego równania dolne, otrzymujemy yB-yA=aABxB-aABxA=aABxB-xA, czyli aAB=yB-yAxB-xA.

  1. Współczynnik kierunkowy symetralnej SAB wyliczamy z warunku prostopadłości prostych aSAB=-1aAB.

  1. Mając dany współczynnik kierunkowy symetralnej SAB i punkt xA+xB2,yA+yB2, który należy do tej symetralnej, możemy napisać jej równanie.

Powyższe czynności przedstawia rysunek:

RU14ZxzSjZwCg

Przedstawiona powyżej metoda służy do wyznaczenia równania okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Przykład 4

Napiszemy równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=2,2,B=-5,-5,C=1,-5.

Rozwiązanie

Zastosujemy przedstawioną powyżej metodę.

  1. Równanie symetralnej SAB odcinka AB.
    Symetralna SAB jest prostopadła do odcinka AB i przechodzi przez jego środek o współrzędnych xA+xB2,yA+yB2.
    Podstawiając współrzędne A=2,2B=-5,-5 otrzymujemy współrzędne środka odcinka AB : -32,-32. Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB ze wzoru aAB=yB-yAxB-xA.
    Dla A=2,2, B=-5,-5 współczynnik kierunkowy wynosi aAB=-5-2-5-2=1. Ponieważ symetralna SAB jest prostopadła do prostej AB, więc korzystając z warunku prostopadłości prostych aSAB=-1aAB otrzymujemy aSAB=-11=-1.
    Równanie symetralnej SAB odcinka  A B : y = x + b .
    Ponieważ symetralna przechodzi przez punkt -32,-32, to podstawiając jego współrzędne do wzoru y=-x+b, otrzymamy b: -32=--32+b, czyli b=-3.
    SAB:y=-x-3.

R1Q8o86yQjV1x

Analogicznie wyznaczamy równanie symetralnej SBC odcinka BC.

Symetralna SBC jest prostopadła do odcinka BC i przechodzi przez jego środek o współrzędnych xB+xC2,yB+yC2. Ponieważ B=-5,-5, C=1,-5, to współrzędne środka odcinka BC wynoszą -2,-5.

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej BC ze wzoru aBC=yC-yBxC-xB i otrzymujemy aBC=-5--51--5=0.

Prosta BC jest równoległa do osi X, stąd jej symetralna będzie równoległa do osi Y, a ponieważ przechodzi przez punkt -2,-5, stąd jej równanie to:

SBC: x=-2.

RgAczSVQTYXuD

Środek okręgu leży na przecięciu symetralnych SAB: y=-x-3SBC: x=-2.

Rozwiązujemy układ równań:

y=-x-3x=-2

stąd y=--2-3=-1.

Środek okręgu: O=-2,-1.

Długość promienia okręgu wyliczamy ze wzoru na odległość dwóch punktów: d=x2-x12+y2-y12. Ponieważ r=OA, to podstawiając do powyższego wzoru A=2,2O=-2,-1 otrzymujemy:

r=xA-xO2+yA-yO2==2--22+2--12=42+32=25=5

Równanie okręgu ma postać: x+22+y+12=25.

Ostateczny wynik naszych działań przedstawia rysunek:

RzKV6aPYwsWkD

Słownik

okrąg o środku O i promieniu r
okrąg o środku O i promieniu r

zbiór wszystkich punktów P płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r

symetralna odcinka
symetralna odcinka

zbiór wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od końców tego odcinka