Przeczytaj

Przekątne wielokąta

Przekątna wielokąta

Definicja: Przekątna wielokąta

Odcinki łączące wierzchołki wielokątawielokąt ( $n$ -kąt, $n$ -bok)wielokąta i niebędące jego bokami nazywamy przekątnymi wielokąta.

Wiadomo, że trójkąt nie posiada przekątnych, bo każdy z odcinków łączących dowolne dwa jego wierzchołki jest jego bokiem. Wiadomo także, że w dowolnym czworokącie można poprowadzić dwie przekątne.

Przykład 1

Rozważmy figurę złożoną z obszaru ograniczonego łamanąłamanałamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z $5$ odcinków (wraz z tą łamaną), taką jak na rysunku. To pięciokąt, który nie jest figurą wypukłą.

RROBpzBcB2rl1

Ilustracja przedstawia pięciokąt A B C D E wklęsły skonstruowany w taki sposób, że wierzchołki A B D E tworzą czworokąt, a boki B C oraz C D znajdują się w polu tego czworokąta. Wszystkie wierzchołki są połączone ze sobą przerywanymi przekątnymi. Przekątna B D leży poza obszarem pięciokąta. Pozostałe przekątne znajdują się w obrębie figury.

Zauważmy, że wówczas z każdego wierzchołka można poprowadzić dwie przekątne, a łączna liczba przekątnych jest równa pięć.

Jeśli rozważymy teraz pięciokąt wypukły, np. taki jak na rysunku poniższym, to liczby przekątnych poprowadzonych z każdego z wierzchołków oraz ich łączna liczba nie ulegają zmianie.

R1cXtmURHbwDf

Ilustracja przedstawia pięciokąt wypukły A B C D E, w którym linią przerywaną poprowadzono przekątne. Wszystkie przekątne leżą w obszarze figury.

Liczba przekątnych wielokąta

Zależność między liczbą wierzchołków wielokątawielokąt ( $n$ -kąt, $n$ -bok)wielokąta a liczbą jego przekątnych opisuje poniższe twierdzenie.

o liczbie przekątnych wielokąta

Twierdzenie: o liczbie przekątnych wielokąta

Liczba przekątnych wielokąta jest równa $\frac{n (n - 3)}{2}$ , gdzie $n$ oznacza liczbę boków wielokąta $(n \in ℕ, n > 2)$ .

Dowód

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RINlV1Epwstll

Ilustracja przedstawia wielokąt wypukły, w którym podpisano cztery wybrane boki: A 1, A 2, A 3, A n. Pozostałe boki nie zostały podpisane. W figurze poprowadzono różnokolorowe przekątne, przy czym każda z nich leży w obszarze figury.

Zauważmy, że z dowolnego wierzchołka możemy poprowadzić $(n - 3)$ przekątne (na rysunku przekątne z wierzchołka $A_{1}$ są zaznaczone kolorem czerwonym, z wierzchołka $A_{2}$ kolorem niebieskim, z wierzchołka $A_{3}$ kolorem fioletowym). Wszystkich wierzchołków jest $n$ , więc jeśli z każdego z wierzchołków poprowadzimy $(n - 3)$ przekątne i zaznaczymy je innym kolorem, to łącznie poprowadzimy $n \cdot (n - 3)$ odcinków. Każdy z narysowanych odcinków jest zaznaczony dwoma różnymi kolorami (na rysunku odcinek $A_{1} A_{3}$ ), czyli w iloczynie $n \cdot (n - 3)$ jest liczony dwukrotnie.

Zatem liczbę wszystkich różnych przekątnych $n$ -kąta opisuje wzór $\frac{n \cdot (n - 3)}{2}$ , co kończy dowód.

Skorzystamy z ostatniego wyniku do rozwiązania klasycznego problemu liczby meczów, jakie muszą być rozegrane w fazie grupowej turnieju piłkarskiego.

Przykład 2

W fazie grupowej turnieju uczestniczy siedem drużyn i każda drużyna rozgrywa z każdą inną dokładnie jeden mecz. Ile meczów zostanie rozegranych?

Rozwiązanie

Każdej drużynie możemy przyporządkować kolejno symbole $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots, A_{7}$ , które z kolei możemy utożsamić z różnymi wierzchołkami pewnego siedmiokąta. Wówczas skojarzenie dwóch drużyn, które będą grały mecz, można utożsamić z połączeniem odcinkiem dwóch dowolnych wierzchołków tej figury. Zauważmy jednak, że w ten sposób otrzymamy nie tylko wszystkie przekątne, ale także wszystkie boki tego siedmiokąta.
Stąd, korzystając ze wzoru na liczbę przekątnych wielokątawielokąt ( $n$ -kąt, $n$ -bok)wielokąta, otrzymujemy wyrażenie:

\frac{7 \cdot (7 - 3)}{2} + 7 = 14 + 7 = 21

Ostatni wynik można uogólnić na turniej, w którym gra $n$ drużyn:

\frac{n \cdot (n - 3)}{2} + n = n \cdot (\frac{n - 3}{2} + 1) = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}

Rezultat ten ma także proste interpretacje geometryczne, np. opisuje liczbę odcinków, którymi można połączyć dwa spośród $n$ punktów płaszczyzny, z których żadne trzy nie są współliniowe.

Słownik

wielokąt (

n

-kąt,

n

-bok)

wielokąt (

n

-kąt,

n

-bok)

płaska figura geometryczna ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną

łamana

figura geometryczna, którą można przedstawić jako sumę skończonej liczby takich odcinków, że dowolne dwa odcinki mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny i koniec każdego z odcinków (ew. z wyjątkiem ostatniego) jest początkiem następnego; łamana, której kolejne dwa odcinki nie leżą na jednej prostej oraz żaden z jej punktów nie należy do więcej niż dwóch odcinków, nazywa się zwyczajną; łamana nazywa się zamkniętą, gdy koniec jej ostatniego odcinka jest początkiem pierwszego odcinka; odcinki tworzące łamaną nazywamy jej bokami, a końce boków to wierzchołki łamanej

Wprowadzenie

Aplet

Przekątne wielokąta

Liczba przekątnych wielokąta

Słownik