Przeczytaj

Warto przeczytać

Kinetyczno‑molekularna teoria gazu doskonałego

Wyjaśnienie, czym jest temperatura zawdzięczamy kinetyczno‑molekularnej teorii gazu doskonałego, która opisuje gaz doskonałyGaz doskonałygaz doskonały na poziomie mikroskopowym, tzn. cząsteczkowym. Cząsteczki gazu doskonałego nieustannie się poruszają, zderzając się ze sobą i ze ściankami naczynia. W zderzeniach cząsteczki przekazują sobie energię, jedne zwalniają, inne przyspieszają, jednak w każdym zderzeniu energia kinetyczna jest zachowana, ponieważ zderzenia cząsteczek są sprężysteZderzenie sprężystesprężyste. W zderzeniach sprężystych suma energii kinetycznych cząsteczek przed zderzeniem równa jest sumie energii kinetycznych po zderzeniu.

Można wykazać, analizując ruch cząsteczek zgodnie z zasadami dynamiki Newtona, że średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek jest wprost proporcjonalna do temperatury gazu w skali Kelwina, $T$ :

\begin{matrix} (1) & {(E_{k})}_{ś r} = \frac{3}{2} k_{B} T, \end{matrix}

gdzie $k_{B} = 1,38 \cdot 10^{- 23} \frac{J}{K}$ jest stałą Boltzmanna. Stała ta jest uniwersalną stałą fizyczną. Za jej pomocą oraz za pomocą liczby AvogadraLiczba Avogadraliczby Avogadra $N_{A}$ wyrażamy tzw. stałą gazowąStała gazowa, Rstałą gazową $R = k_{B} \cdot N_{A},$ która jest równa $R \approx 8,31 \frac{J}{m o l \cdot K}$ . Wyprowadzenie wzoru (1) znajduje się w e‑materiale pt. Teoria kinetyczno‑molekularna gazu doskonałego.

Wzór (1) łączący średnią energię kinetyczną ruchu postępowego cząsteczek z temperaturą jest jednym z najważniejszych wzorów termodynamiki. Pozwala nam zrozumieć, czym w istocie jest temperatura – to miara średniej energii kinetycznej cząsteczek. Możemy wyobrazić sobie cząsteczki gazu, które poruszają się coraz szybciej w miarę wzrostu temperatury. Rozumiemy też, dlaczego najniższą możliwą temperaturą jest zero, bo przecież energia kinetyczna nie może być mniejsza od zera. Dlatego skalę temperatur Kelwina nazywamy też skalą bezwzględną.

Zauważmy, że średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek $(E_{k})_{ś r}$ nie zależy od masy cząsteczek. Oznacza to, że w mieszaninie różnych gazów cząsteczki każdego gazu mają taką samą średnią energię kinetyczną w ruchu postępowym bez względu na masę cząsteczek. A czy prędkości różnych cząsteczek również są takie same? Średnią energię kinetyczną cząsteczek można wyrazić wzorem:

\begin{matrix} (2) & {(E_{k})}_{ś r} = \frac{m}{2} \cdot \frac{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \dots + v_{N}^{2})}{N} = \frac{m {(v^{2})}_{ś r}}{2} . \end{matrix}

gdzie $m$ jest masą cząsteczki, a ${(v^{2})}_{ś r}$ to średni kwadrat prędkości:

\begin{matrix} (3) & {(v^{2})}_{ś r} = \frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \dots + v_{N}^{2}}{N} . \end{matrix}

Pierwiastek z ${(v^{2})}_{ś r}$ nazywamy prędkością średnią kwadratową i oznaczamy $v_{ś r k w}$ ,

\begin{matrix} (4) & v_{ś r k w} = \sqrt{{(v^{2})}_{ś r}} = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \dots + v_{N}^{2}}{N}} . \end{matrix}

Prędkość średnią kwadratową obliczymy ze wzoru:

\begin{matrix} (5) & v_{ś r k w} = \sqrt{{(v^{2})}_{ś r}} = \sqrt{\frac{3 k T}{m}} . \end{matrix}

Jeśli zmieszamy gazy o różnych masach cząsteczek, to średnie energie kinetyczne cząsteczek będą równe, ale prędkości średnie kwadratowe będą się różnić. Im większa masa cząsteczek, tym mniejsza jest ich prędkość średnia kwadratowa.

Energia wewnętrzna gazu doskonałego

Energią wewnętrzną gazu, $U$ , nazywamy sumę wszystkich rodzajów energii cząsteczek tego gazu. Możemy ją przedstawić za pomocą trzech składników, które odpowiadają:

sumie energii kinetycznych w ruchu postępowym cząsteczek, w układzie odniesienia, w którym średni ich pęd jest równy zero,
sumie energii potencjalnych oddziaływań między cząsteczkami,
sumie energii wewnętrznych cząsteczek.

Pierwszy składnik wyraża się za pomocą wzorów (2) i (3). Zgodnie ze wzorem (1), suma ta jest proporcjonalna do temperatury.

W odniesieniu do drugiego składnika, z definicji gazu doskonałego wynika, że jego cząsteczki nie oddziałują ze sobą. Drugi składnik energii wewnętrznej gazu doskonałego jest zatem równy zero.

Zastanówmy się teraz nad trzecim składnikiem. Gdybyśmy trzymali się sztywno założenia, że cząsteczki gazu nie mają wewnętrznej struktury, że są punktami materialnymi, to składnik ten także byłby równy zeru. Jednak wtedy model gazu doskonałego stosowałby się wyłącznie do gazów jednoatomowych, takich jak hel, neon i inne gazy szlachetne. Nie stosowałby się za to do powietrza, którego głównymi składnikami są dwuatomowe cząsteczki azotu i tlenu, oraz do wielu innych, na co dzień spotykanych gazów.

Rozszerzenie zakresu obowiązywania modelu gazu doskonałego

W ruchu postępowym cząsteczki wieloatomowe zachowują się podobnie do cząsteczek jednoatomowych. Zderzają się sprężyście między sobą i ze ściankami naczynia. Przy niezbyt niskich temperaturach i niezbyt dużych gęstościach energia potencjalna ich oddziaływań jest pomijalna wobec ich energii kinetycznej. Nie można jednak pominąć, w żadnych warunkach, wewnętrznej energii kinetycznej samych cząsteczek. Składają się na nią energia kinetyczna w ruchu obrotowym dookoła środka masy cząsteczki oraz energia ruchu drgającego atomów wewnątrz cząsteczki. Z kolei w niezbyt wysokich temperaturach możemy pominąć takie składniki wewnętrznej energii cząsteczek, jak energia wiązań chemicznych, energia elektronów, czy energia protonów i neutronów w jądrach atomów.

Można wykazać, że wewnętrzna energia kinetyczna cząsteczek jest proporcjonalna do temperatury, podobnie jak średnia energia kinetyczna w ich ruchu postępowym. Jednak wartość współczynnika proporcjonalności zależy od składu i struktury cząsteczki. Jest on inny dla cząsteczek dwuatomowych, inny dla trójatomowych, itd. Więcej szczegółów na ten temat dowiesz się w encyklopedii lub Wikipedii pod hasłami “zasada ekwipartycji energii” lub “stopnie swobody ruchu cząsteczek”.

R1BCRtQ4iy4fU

Rys. 1. Rysunek przedstawia modele cząsteczek różnych gazów. Są one pogrupowane, w lewej części rysunku znajdują się jednoatomowe cząsteczki neonu i kryptonu. Są one przedstawione w formie kul, kula dotycząca neonu ma w środku oznaczenie Ne, a kula dotycząca kryptonu Kr. Atom kryptonu jest nieco większy od atomu neonu. Kule są umieszczone jedna pod drugą. W środkowej części rysunku znajdują się dwuatomowe cząsteczki wodoru i tlenu. Cząsteczka wodoru składa się z dwóch małych kul z oznaczeniami dużą literą H w środku. Kule połączone są poziomą linią, która symbolizuje wiązanie chemiczne. Poniżej znajduje się model cząsteczki tlenu. Jest on podobny do modelu cząsteczki wodoru, jednak kule są większe i mają w środku oznaczenia dużą literą O. W prawej części rysunku znajdują się modele gazów trzyatomowych – wody i dwutlenku węgla. Cząsteczka wody ma kształt trójkąta o odwróconej do góry podstawie. Składa się z kuli oznaczonej jako dużą literą O, symbolizującej atom tlenu. Kula ta znajduje się w środku cząsteczki. Po jej lewej i prawej stronie, odpowiednio na godzinie dziesiątej i drugiej znajdują się kule z oznaczeniami H, symbolizujące atomy wodoru. Atomy wodoru są mniejsze niż atom tlenu. Kula tlenu połączona jest z kulami wodoru za pomocą kresek symbolizujących wiązania chemiczne, są one skierowane również na godzinę dziesiątą i drugą. Atomy wodoru nie są ze sobą połączone. Poniżej znajduje się model cząsteczki dwutlenku węgla. Cząsteczka ta ma kształt poziomej linii. W środku cząsteczki znajduje się kula oznaczona dużą literą C, symbolizująca atom węgla. Po lewej i prawej stronie, dokładnie na godzinie trzeciej i dziewiątej znajdują się kule z oznaczeniami dużą literą O, symbolizujące atomy tlenu. Atomy tlenu są połączone pojedynczymi kreskami z atomem węgla, lecz nie są połączone ze sobą. Atom węgla jest nieco mniejszy od atomów tlenu. — Rys. 1. Przykłady cząsteczek różnych gazów: a) jednoatomowych, b) dwuatomowych i c) trójatomowych.

Różne, choć bardzo podobne wyrażenia na energię wewnętrzną gazu

Wyrażając energię wewnętrzną $U$ gazu doskonałego musimy uwzględniać, z jakich cząsteczek się on składa. Gdy jest to gaz jednoatomowy, jego energia wewnętrzna zawiera wyłącznie energię kinetyczną ruchu postępowego:

\begin{matrix} (6) & U = \frac{m v_{1}^{2}}{2} + \frac{m v_{2}^{2}}{2} + \dots + \frac{m v_{N}^{2}}{2} = N \cdot {(E_{k})}_{ś r} = N \cdot \frac{3}{2} k_{B} T . \end{matrix}

Gdy opisujemy gaz o cząsteczkach dwuatomowych, energia wewnętrzna także jest proporcjonalna do temperatury, więc wyraża się wzorem bardzo podobnym. Różnica jest związana z energią zmagazynowaną wewnątrz cząsteczki, w postaci energii obrotu cząsteczki względem jej osi symetrii:

\begin{matrix} U = N \cdot \frac{5}{2} k_{B} T . \end{matrix}

Cząsteczki trójatomowe liniowe (np. tlenek węgla (IV), COIndeks dolny 2) magazynują w swym wnętrzu nieco więcej energii niż cząsteczki dwuatomowe (przy tej samej temperaturze). Dlatego w ich przypadku obowiązuje wzór:

\begin{matrix} U = N \cdot \frac{6}{2} k_{B} T . \end{matrix}

Gdy chcemy zapisać ogólne wyrażenie dla energii wewnętrznej gazu doskonałego, często ujmujemy to w postaci:

\begin{matrix} U = \frac{i}{2} N k_{B} T = \frac{i}{2} n N_{A} k_{B} T = \frac{i}{2} n R T . \end{matrix}

W powyższych wyrażeniach wykorzystano fakt, że liczbę cząsteczek $N$ można wyrazić przez liczbę moli $n$ i liczbę AvogadraLiczba Avogadraliczbę Avogadra $N_{A}$ , tj. $N = n \cdot N_{A}$ , oraz że stała gazowa $R = k_{B} \cdot N_{A}$ .

Wszystkie powyższe wzory pokazują, że energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy tylko od temperatury i ilości gazu. W zależności tej należy uwzględnić atomową strukturę cząsteczek gazu.

Zmiana energii wewnętrznej $Δ U$ gazu, którego ilość się nie zmienia, wynosi:

Δ U = \frac{i}{2} N k_{B} Δ T = \frac{i}{2} n N_{A} k_{B} Δ T = \frac{i}{2} n R Δ T .

Wyrażenia te pokazują, że zmiana energii wewnętrznej określonej porcji gazu zawsze jest związana ze zmianą temperatury.

Słowniczek

Gaz doskonały

(ang.: ideal gas) fizyczny model gazu spełniający warunki: 1. Cząsteczki gazu mają zaniedbywalnie małe rozmiary i poruszają się chaotycznie, 2. zderzenia cząsteczek są idealnie sprężyste i poza zderzeniami cząsteczki nie oddziałują ze sobą.

Ciepło molowe przy stałej objętości, CIndeks dolny V

(ang.: molar heat at constant volume) ciepło potrzebne do ogrzania 1 mola gazu o 1Indeks górny oC.

Liczba Avogadra

(ang.: Avogadro number) liczba molekuł (atomów lub cząsteczek) w 1 molu dowolnej substancji NIndeks dolny A≈6,022·10Indeks górny 23.

Stała gazowa, R

(ang.: gas constant) stała fizyczna pojawiająca się m.in. w równaniu stanu gazu doskonałego (tzw. równaniu Clapeyrona): pV=nRT. Jest ona równa: R≈8,31 J/(mol·K).

Zderzenie sprężyste

(ang.: elastic collision) W zderzeniach sprężystych spełniona jest zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii.

Wprowadzenie

Film samouczek