Układem równań kwadratowychukład równań kwadratowychUkładem równań kwadratowych nazwiemy układ postaci:

w którym oba równania są stopnia drugiego oraz $a,b,c,d,e,f\in ℝ$ i $x,y\in ℝ$

Sprawdzimy, czy para liczb $x=2 i y=3$ spełnia układ równań: $\left\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=1\\ x^2+{\left(y+1\right)}^2=20\end{array}\right.$.

Podane liczby podstawiamy w miejsce niewiadomych $x$i $y$.

Otrzymujemy, że: $\left\{\begin{array}{l}{\left(2-1\right)}^2+{\left(3-3\right)}^2=1\\ 2^2+{\left(3+1\right)}^2=20\end{array}\right.$.

Obie równości są prawdziwe, zatem podana para liczb spełnia układ równań.

Rozwiążemy układ równań:$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=10\\ x^2-6x+y^2-6y=-14\end{array}\right.$.

Zauważmy, że w drugim równaniu w miejsce  $x^2+y^2$ można podstawić liczbę $10$.

Po przekształceniach otrzymujemy: $y=4-x$.

Zatem mamy układ równań, w którym jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe:$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=10\\ y=4-x\end{array}\right.$.

Po podstawieniu do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $y$ otrzymujemy równanie kwadratowe: $x^2+{\left(4-x\right)}^2=10$, które jest równoważne równaniu: $x^2-4x+3=0$.

Jego pierwiastkami są liczby: $x_1=1$ oraz $x_2=3$.

Dla otrzymanych wartości  obliczamy odpowiadające im: $y_1=3$ oraz $y_2=1$.

Zatem rozwiązaniem układu równań są dwie pary liczb: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ y_1=3\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}{x}_2=3\\ y_2=1\end{array}\right.$.

Zapiszemy algebraicznie, za pomocą układu równań kwadratowych, układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawia rysunek:

Roevi00wBXJ4g

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus ośmiu do siedmiu i pionową osią y od minus dwóch do ośmiu. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały dwa okręgi. Współrzędne środka pierwszego okręgu to: początek nawiasu, minus 4, 4, zamknięcie nawiasu. Środek pierwszego okręgu jest zaznaczony zamalowaną kropką i podpisany $S_1$. Promień pierwszego okręgu wynosi 4. Współrzędne środka drugiego okręgu to: początek nawiasu, 3, 4 zamknięcie nawiasu. Środek pierwszego okręgu jest zaznaczony zamalowaną kropką i podpisany $S_2$. Promień pierwszego okręgu wynosi 5.

Otrzymujemy układ równań: $\left\{\begin{array}{l}{\left(x+4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=16\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=25\end{array}\right.$.

Układ ten można zapisać w postaci: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+8x+y^2-8y=-16\\ x^2-6x+y^2-8y=0\end{array}\right.$.

układ postaci $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+ax+by=c\\ x^2+y^2+dx+ey=f\end{array}\right.$, gdzie $x,y$ - niewiadome, $a,b,c,d,e,f\in \mathrm{ℝ}$