Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$ to równanie

nazywamy równaniem wymiernymrównanie wymiernerównaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$.

Określimy dziedzinę równania $\frac{2}{x\left(x+1\right)}=0$.

Niech $P\left(x\right)=x\left(x+1\right)$.

Obliczymy miejsca zerowe wielomianu $P\left(x\right)$.

$x\left(x+1\right)=0$

$x=0$ lub $x=-1$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\mathrm{1,} 0\right\}$

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\mathrm{1,} 0\right\}$.

Określimy dziedzinę równania wymiernegodziedzina równania wymiernegodziedzinę równania wymiernego $\frac{x}{x^2+3}=1$.

Wyrażenie $x^2+3>0$ dla dowolnego $x\in \mathrm{ℝ}$.

Zatem $D=\mathrm{ℝ}$.

Dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych.

Która z podanych liczb $-2$, $-1$, $3$, $6$ nie należy do dziedziny równania $\frac{x+1}{x^2-5x+6}=0$?

$x^2-5x+6\ne 0$

$\left(x-2\right)\left(x-3\right)\ne 0$

$x\ne 2$ i $x\ne 3$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{\mathrm{2,} 3\right\}$

$x=3\notin D$

Liczba $x=3$ nie należy do dziedziny równania.

Wyznaczymy dziedzinę równania $\frac{1}{x+2}-\frac{x}{x^2-9}=1$.

Lewa strona równaniarównanie wymiernerównania jest sumą dwóch ułamków algebraicznych.

Mianownik każdego z tych ułamków musi być różny od zera.

Zatem:

$\left\{\begin{array}{l}x+2\ne 0\\ x^2-9\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ x\ne -3 \text{i} x\ne 3\end{array}\right.$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3, 2, 3\right\}$.

Rowerzysta przejechał $120 \mathrm{km}$, pokonując codziennie tyle samo kilometrów.

Gdyby każdego dnia podróży przejeżdżał o $10 \mathrm{km}$ więcej, to jego podróż trwałaby o $1$ dzień krócej. Ile dni podróżował rowerzysta?

Wyznaczymy dziedzinę równania i rozwiążemy równanie.

Niech:
$x$ – liczba dni, w czasie których rowerzysta przejechał $120 \mathrm{km}$,
$\frac{120}{x}$ – liczba kilometrów przejechanych przez rowerzystę w ciągu jednego dnia,
$\frac{120}{x-1}$ – liczba kilometrów przejechanych przez rowerzystę, gdyby codziennie przejeżdżał o $10 \mathrm{km}$ więcej.

$x>1$ i $x\in \mathrm{\mathbb{N}}$ ponieważ podróż rowerzysty musi trwać co najmniej $2$ dni.

Zapiszemy równanie.

$\frac{120}{x}+10=\frac{120}{x-1} |·x\left(x-1\right)$

$120·\left(x-1\right)+10x\left(x-1\right)=120x |:10$

$12x-12+x^2-x=12x$

$x^2-x-12=0$

$∆={\left(-1\right)}^2-4·\left(-12\right)=1+48=49\Rightarrow \sqrt{∆}=7$

$x_1=\frac{1-7}{2}=-3$

$x_2=\frac{1+7}{2}=4$

Tylko liczba $4$ spełnia warunki zadania.

Rowerzysta podróżował $4$ dni.

Wyznaczymy dziedzinę równania $\frac{1}{x^2-x}+\frac{3}{x^2-3x+2}+\frac{2}{x^3-6x^2+12x-8}=0$.

Lewa strona równania jest sumą trzech ułamków algebraicznych.

Dla łatwiejszego ustalenia dziedziny rozłożymy mianownik każdego z ułamków na czynniki.

$\frac{1}{x\left(x-1\right)}+\frac{3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\frac{2}{{\left(x-2\right)}^3}=0$

Czyli:

$\left\{\begin{array}{l}1. x\left(x-1\right)\ne 0\\ 2. \left(x-1\right)\left(x-2\right)\ne 0\\ 3. {\left(x-2\right)}^3\ne 0\end{array}\right.$.

1. $x\left(x-1\right)\ne 0$
   $x\ne 0$ i $x\ne 1$

2. $\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ne 0$
   $x\ne 1$ i $x\ne 2$
   $3·{\left(x-2\right)}^3\ne 0$
   $x\ne 2$
   $\mathrm{D}=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0,\mathrm{ }1,\mathrm{ }2\right\}$

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0,\mathrm{ }1,\mathrm{ }2\right\}$.

równanie $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$ z jedną niewiadomą $x$, gdzie $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$

dziedziną równania wymiernego $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$, $P\left(x\right)\not\equiv 0$ jest zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór pierwiastków wielomianu $P\left(x\right)$