Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Na początek przypomnienie najważniejszych pojęć i wzorów, związanych z ciągiem arytmetycznym. Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg an, jest określony dla n1n.

Ciąg arytmetyczny
Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby r, zwanej różnicą ciągu.

Ciąg arytmetyczny an

Wyraz ogólny ciągu

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu

Suma n początkowych wyrazów ciągu

an=a1+n-1·r

an=an-1+an+12

Sn=a1+an2·n

W pierwszym przykładzie pokażemy, że znając sumę kilku wyrazów ciągu arytmetycznego można znaleźć wzór ogólny tego ciągu.

Przykład 1

W dziesięciowyrazowym ciągu arytmetycznym an suma wyrazów parzystych jest równa 15, a suma wyrazów nieparzystych 12,5. Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu.

Oznaczmy:
a – pierwszy wyraz ciągu,
r – różnica ciągu.

Pięć wyrazów nieparzystych ciągu tworzy również ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a i różnicy 2r.

Korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, zapisujemy:

a+a+8r2·5=12,5

2a+8r2·5=12,5

a+4r=2,5

Podobnie, wyrazy parzyste ciągu tworzą również ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a+r i różnicy 2r.

Korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, zapisujemy:

a+a+r+9r2·5=15

2a+10r2·5=15

a+5r=3

Otrzymaliśmy układ równań, który rozwiązujemy, odejmując stronami równania układu.

-a+5r=3a+4r=2,5      r=0,5

Obliczamy pierwszy wyraz ciągu.

a+5r=3

a+5·0,5=3

a=0,5

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

an=0,5+n-1·0,5

an=0,5n

W następnym przykładzie pokażemy, że znając wzór określający sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, można określić niektóre jego własności.

Przykład 2

Suma n początkowych wyrazów ciągu an określona jest wzorem Sn=3n2-16n. Wykażemy, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

Aby ustalić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy zbadać różnicę an+1-an.

Wyznaczymy najpierw an+1.

an+1=Sn+1-Sn

an+1=3n+12-16n+1-3n2+16n

an+1=3n2+2n+1-16n+1-3n2+16n

an+1=3n2+6n+3-16n-16-3n2+16n

an+1=6n-13

Teraz wyznaczamy an.

an=Sn-Sn-1

an=3n2-16n-3n-12+16n-1

an=3n2-16n-3n2-2n+1+16n-1

an=3n2-16n-3n2+6n-3+16n-16

an=6n-19

Określamy różnicę an+1-an.

an+1-an=6n-13-6n-19=6n-13-6n+19

an+1-an=6

Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, zatem jest to ciąg arytmetyczny.

Na podstawie wzoru ciągu arytmetycznego określimy własności sumy ciągu arytmetycznego.

Przykład 3

Dla pewnych liczb x, y wartości wyrażeń x+y, 4x-y, 3x+4y+1, 9x-4y+1 są w tej kolejności czterema początkowymi kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obliczymy, ile co najmniej początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma była większa od 100.

Korzystamy z własności kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zapisujemy i przekształcamy odpowiedni układ równań.

24x-y=x+y+3x+4y+123x+4y+1=4x-y+9x-4y+1

8x-2y=4x+5y+16x+8y+2=13x-5y+1

4x-7y=1-7x+13y=-1

Pierwsze równanie mnożymy przez 7, a drugie przez 4 i równania układu dodajemy stronami.

+28x-49y=7-28x+52y=-4     3y=3

y=1

Wyznaczoną liczbę podstawiamy do pierwszego równania układu i wyznaczamy x.

4x-7·1=1

4x=8

x=2

Teraz możemy wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu i różnicę.

x+y=2+1=3 – pierwszy wyraz ciągu

4x-y=8-1=7 – drugi wyraz ciągu

7-3=4 – różnica ciągu

Aby obliczyć ile początkowych wyrazów ciągu należy dodać, aby otrzymana suma była większa od 100, rozwiązujemy nierówność:

3+3+n-1·42·n>100

3+n-1·2·n>100

2n2+n-100>0

=1+800=801

n1=-1-8014

n1=-1+80146,8

n-, -1-8014  -1+8014, n+

Wynika stąd, że n=7, 8, 9, ...

Odpowiedź:

Należy dodać co najmniej 7 kolejnych wyrazów ciągu, aby otrzymana suma była większa od 100.

Pokażemy teraz zastosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego w zadaniach pozornie niezwiązanych z ciągiem arytmetycznym.

Przykład 4

Obliczymy sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 4 jest równa 1.

Najmniejsza z liczb dwucyfrowych, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 to 13, a następne to 13, 17, 21, ..., 97

Kolejne liczby różnią się o 4.

Można więc przyjąć, że są wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego an, w którym pierwszy wyraz to 13, a różnica to 4.

Zapisujemy wzór na n–ty wyraz tego ciągu.

an=13+n-1·4=4n+9

Korzystając z tego wzoru obliczamy, ile wyrazów liczy ten ciąg.

4n+9=97

4n=88

n=22

Obliczamy sumę 22 wyrazów ciągu an.

S22=13+972·22=1210

Odpowiedź:

Suma wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 4 jest równa 1 wynosi 1210.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie 1+7+13+19+...+x=481.

Zauważmy, że składniki lewej strony równania to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego bn, którego pierwszy wyraz jest równy 1, a różnica 7-1=6.

Zapisujemy wzór ogólny ciągu:

bn=1+n-1·6=6n-5

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa 481, czyli

1+6n-52·n=481

Z uzyskanego równania wyznaczamy n.

6n2-4n-962=0 |:2

3n2-2n-481=0

=5776

=76

n1=-746<0 – liczba nie spełnia warunków zadania

n2=13

Dodano 13 wyrazów ciągu, zatem x=b13.

x=6·13-5

x=73

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba 73.

Słownik

ciąg arytmetyczny
ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby r, zwanej różnicą ciągu