Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Czym są funkcje elementarne?

Zanim przejdziemy do metod obliczania granic funkcji, dowiemy się, jakie funkcje zaliczamy do tzw. funkcji elementarnych.

Funkcje elementarne
Funkcje elementarne

Do funkcji elementarnych zaliczamy następujące funkcje

  • wielomiany (w szczególności funkcje liniowe i kwadratowe),

  • funkcje wymierne,

  • funkcje wykładnicze,

  • funkcje logarytmiczne,

  • funkcje trygonometryczne,

  • funkcje typu .

Ponadto funkcją elementarną jest suma, róznica, iloczyn, iloraz oraz złożenie dowolnych dwóch funkcji elementarnych.

Jak obliczyć granicę funkcji w punkcie?

Dla funkcji elementarnych prawdziwa jest następująca własność?

Granica funkcji elementarnej w punkcie
Własność: Granica funkcji elementarnej w punkcie

Jeżeli funkcja f:Df jest funkcją elementarną oraz , to funkcja posiada granicę w punkcie oraz

Przykład 1

Korzystając z powyższej własności, obliczymy poniższe granice.

Rozwiązanie

Ad 1.

Ad 2.

Ad 3.

Ad 4.

Powyższą własność możemy stosować jedynie w przypadku, gdy punkt w którym liczymy granicę należy do dziedziny funkcji elementarnej. Poniższe przykłady pokazują, w jaki sposób możemy próbować obliczyć granice pewnych typów funkcji w punktach nienależących do ich dziedziny.

Przykład 2

Obliczymy granicę

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od wyznaczenia dziedziny funkcji . W tym celu wyznaczamy miejsca zerowe mianownika.

Stąd

Zatem . Punkt nie należy do dziedziny funkcji , więc nie możemy zastosować wcześniejszej własności. Aby obliczyć granicę funkcji uprościmy jej wzór. W tym celu zapisujemy licznik i mianownik w postaci iloczynowejpostać iloczynowa funkcji kwadratowejpostaci iloczynowej. Miejsca zerowe mianownika już policzyliśmy, policzmy zatem miejsca zerowe licznika.

Stąd

Wzór funkcji możemy więc zapisać następująco

dla Zatem

Przykład 3

Obliczymy granicę

Rozwiązanie

Na początek wyznaczymy dziedzinę funkcji . Pierwiastek kwadratowy możemy obliczyć tylko z liczb nieujemnych. Zatem musi być spełniony warunek . Ponadto nie możemy dzielić przez zero, czyli . Ostatecznie . Widzimy stąd, że w punkcie możemy obliczyć tylko granicę prawostronną. Ponieważ , więc nie możemy podstawić liczby do wzoru funkcji. Spróbujmy zatem ją uprościć. W tym celu zapiszemy licznik w postaci iloczynowejpostać iloczynowa funkcji kwadratowejpostaci iloczynowej. Ponieważ więc

Stąd otrzymujemy

Przykład 4

Obliczymy granicę

Rozwiązanie

Zaczniemy od wyznaczenia dziedziny funkcji . Mamy

Podsumowując: . Zatem, aby obliczyć granicę naszej funkcji w punkcie , musimy najpierw przekształcić jej wzór do innej postaci. Dążymy do tego, aby dla mianownik nie był równy zero. W tym celu pomnożymy licznik i mianownik funkcji przez wyrażenie . Otrzymamy wówczas

W mianowniku korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratówróżnica kwadratówróżnicę kwadratów

Stąd nasza granica jest równa

Słownik

różnica kwadratów
różnica kwadratów

postać iloczynowa funkcji kwadratowej
postać iloczynowa funkcji kwadratowej

, gdzie