Przeczytaj

Odchylenie standardowe – co to takiego?

Odchylenie standardowe jest najczęściej stosowaną miarą rozproszenia. Jest miarą określającą przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy statystycznej od poziomu średniej arytmetycznej. Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy ze średniej arytmetycznej kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od wartości średniej arytmetycznej.

Odchylenie standardowe

Definicja: Odchylenie standardowe

Odchyleniem standardowym zestawu danych statystycznych $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ od średniej arytmetycznej $\bar{x}$ nazywamy liczbę $σ$ równą pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji.

σ = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}}

Podstawowe własności

Odchylenie standardowe:

to miara mianowana – ma miano takie, jak badana cecha statystyczna,
jest liczone na podstawie wszystkich obserwacji,
bazuje na średniej arytmetycznej, a więc nie może być wyznaczone w szeregach, w których nie można wyznaczyć średniej,
określa miarę rozrzutu jednej zbiorowości pod względem jednej cechy,
im ma wyższą wartość, tym bardziej zróżnicowana jest badana zbiorowość statystyczna.

Wyznaczanie odchylenia standardowego w szeregach szczegółowych

Przykład 1

Zbadano liczbę czekoladek w pudełkach z napisem „zawartość $500 g$ ”. Otrzymano wyniki: $20$ , $21$ , $23$ , $19$ , $17$ . Obliczymy odchylenie standardowe tych danych.

Rozwiązanie:

Porządkujemy dane według rosnących wartości.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$x_{5}$
$17$	$19$	$20$	$21$	$23$

Określamy liczbę danych: $n = 5$ .

Obliczamy średnią arytmetyczną.

\bar{x} = \frac{17 + 19 + 20 + 21 + 23}{5} = 20

Obliczamy odchylenia od średniej dla każdej z danych.

$|17 - 20| = 3$

$|19 - 20| = 1$

$|20 - 20| = 0$

$|21 - 20| = 1$

$|23 - 20| = 3$

Obliczamy odchylenie standardowe, podstawiając do wzoru wyznaczone odchylenia od średniej.

σ = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}}

σ = \sqrt{\frac{3^{2} + 1^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 3^{2}}{5}}

σ = \sqrt{\frac{20}{5}} = 2

Odpowiedź:

Odchylenie standardowe jest równe $2$ , co oznacza, że liczba czekoladek w pudełkach różni się przeciętnie od średniej o $2$ czekoladki.

Przykład 2

Zbadano cenę pączków w kilku sklepach. Otrzymano następujące wyniki: $2 zł$ , $2, 5 zł$ , $3 zł$ , $1, 5 zł$ , $4 zł$ , $2 zł$ . Obliczymy odchylenie standardowe ceny pączków od średniej.

Rozwiązanie:

Porządkujemy dane: $1, 5 zł$ , $2 zł$ , $2 zł$ , $2, 5 zł$ , $3 zł$ , $4 zł$ .

Obliczamy średnią arytmetyczną cen.

\bar{x} = \frac{1, 50 + 2 + 2 + 2, 50 + 3 + 4}{6}

\bar{x} = \frac{15}{6}

\bar{x} = 2, 5 zł

Obliczamy odchylenie od średniej dla każdej z danych.

|1, 50 - 2, 50| = 1

|2 - 2, 50| = 0, 50

|2, 50 - 2, 50| = 0

|3 - 2, 50| = 0, 50

|4 - 2, 50| = 1, 50

Obliczamy odchylenie standardowe.

σ = \sqrt{\frac{1^{2} + {(0, 50)}^{2} + {(0, 50)}^{2} + 0^{2} + {(0, 5)}^{2} + {(1, 5)}^{2}}{6}}

σ = \sqrt{\frac{4}{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

σ \approx 0,82 z ł

Odpowiedź:

Odchylenie standardowe jest równe w przybliżeniu $0,82 z ł$ , co oznacza, że ceny różnią się przeciętnie o $0,82 z ł$ od średniej ceny.

Wyznaczanie odchylenia standardowego w szeregach rozdzielczych punktowych

Przykład 3

W tabeli zapisano dane na temat wieku uczniów. Obliczymy odchylenie standardowe wieku uczniów od średniej.

Wiek uczniów (w latach)	$15$	$16$	$17$	$18$
Liczba uczniów	$2$	$1$	$4$	$3$

Rozwiązanie:

Określamy liczbę uczniów.

$2 + 1 + 4 + 3 = 10$

Obliczamy średnią arytmetyczną wieku.

\bar{x} = \frac{2 \cdot 15 + 1 \cdot 16 + 4 \cdot 17 + 3 \cdot 18}{10}

\bar{x} = \frac{168}{10} = 16, 8

Obliczamy odchylenie od średniej dla każdej z wartości danych.

|15 - 16, 8| = 1, 8

|16 - 16, 8| = 0, 8

|17 - 16, 8| = 0, 2

|18 - 16, 8| = 1, 2

Obliczamy odchylenie standardowe.

σ = \sqrt{\frac{2 \cdot {(1, 8)}^{2} + 1 \cdot {(0, 8)}^{2} + 4 \cdot {(0, 2)}^{2} + 3 \cdot {(1, 2)}^{2}}{10}}

σ = \sqrt{\frac{11, 6}{10}} = \sqrt{1, 16} \approx 1

Odpowiedź:

Odchylenie standardowe od średniej wieku uczniów jest równe w przybliżeniu $1$ . Oznacza to, że wiek uczniów różni się od średniej wieku mniej więcej o rok.

Odchylenie standardoweodchylenie standardoweOdchylenie standardowe można wykorzystać do porównywania parametrów statystycznych danych liczbowych dotyczących tych samych cech w kilku zbiorowościach statystycznych.

Przykład 4

W tabeli przedstawiono dane dotyczące wzrostu (z dokładnością do $5 cm$ ) dwóch grup uczniów. Obliczymy średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe wzrostu w każdej z grup. Ocenimy, w której grupie zróżnicowanie wzrostu jest mniejsze.

Wzrost (w $cm$ )	$160$	$165$	$170$	$175$	$180$
Grupa $1$ Liczba uczniów	$1$	$2$	$1$	$2$	$4$
Grupa $2$ Liczba uczniów	$1$	$2$	$4$	$2$	$1$

Obliczamy średnią arytmetyczną wzrostu.

Grupa 1

\bar{x} = \frac{1 \cdot 160 + 2 \cdot 165 + 1 \cdot 170 + 2 \cdot 175 + 4 \cdot 180}{10}

\bar{x} = \frac{1730}{10}

\bar{x} = 173 cm

Grupa 2

\bar{x} = \frac{1 \cdot 160 + 2 \cdot 165 + 4 \cdot 170 + 2 \cdot 175 + 1 \cdot 180}{10}

\bar{x} = \frac{1700}{10}

\bar{x} = 170 cm

Obliczamy odchylenie standardowe.

Grupa 1

σ = \sqrt{\frac{1 \cdot {(160 - 173)}^{2} + 2 \cdot {(165 - 173)}^{2} + 1 \cdot {(170 - 173)}^{2} + 2 \cdot {(175 - 173)}^{2} + 4 \cdot {(180 - 173)}^{2}}{10}}

σ = \sqrt{\frac{510}{10}} \approx 7, 14

σ \approx 7, 14 cm

Grupa 2

σ = \sqrt{\frac{1 \cdot {(160 - 170)}^{2} + 2 \cdot {(165 - 170)}^{2} + 4 \cdot {(170 - 170)}^{2} + 2 \cdot {(175 - 170)}^{2} + 1 \cdot {(180 - 170)}^{2}}{10}}

σ = \sqrt{\frac{300}{10}} \approx 5, 48

σ \approx 5, 48 cm

Odpowiedź:

Odchylenie standardowe w grupie drugiej jest znacznie mniejsze niż w pierwszej – zróżnicowanie wzrostu w grupie drugiej jest mniejsze niż w grupie pierwszej.

Słownik

odchylenie standardowe

odchyleniem standardowym zestawu danych statystycznych od średniej arytmetycznej nazywamy liczbę równą pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji

Wprowadzenie

Animacja

Odchylenie standardowe – co to takiego?

Wyznaczanie odchylenia standardowego w szeregach szczegółowych

Wyznaczanie odchylenia standardowego w szeregach rozdzielczych punktowych

Słownik