Walcem nazywamy bryłę obrotową, która powstaje przez obrót prostokąta wokół osi zawierającej jeden z jego boków.

Wiadomo, że pole powierzchni całkowitej walca wynosi $24\pi +16\sqrt{3}\pi$, a promień podstawy walca ma długość $2\sqrt{3}$. Obliczymy objętość tego walca.

Rozwiązanie

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1CAkWyWkuWlE

Ilustracja przedstawia walec o długości promienia podstawy r oraz wysokości o długości h.

Ponieważ promień podstawy walca $r=2\sqrt{3}$ a pole powierzchni całkowitej walca obliczamy ze wzoru $P_c=2\pi r^2+2\pi rh$, to do wyznaczenia długości wysokości $h$ walca rozwiązujemy równanie:

$24\pi +16\sqrt{3}\pi =2\pi ·{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2\pi ·2\sqrt{3}·h$

$24+16\sqrt{3}=2·12+4\sqrt{3}·h$

$16\sqrt{3}=4\sqrt{3}·h$, czyli $h=4$.

Wobec tego objętość walca wynosi:

$V=\pi ·{\left(2\sqrt{3}\right)}^2·4=48\pi$.

Obliczymy, o ile procent zwiększyła się objętość walca, w którym promień podstawy oraz wysokość zwiększono o $10\%$.

Rozwiązanie

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca a $h$ jego wysokością, to objętość walca wyraża się wzorem:

$V=\pi r^2·h$.

Jeżeli długości promienia podstawy oraz wysokości walca zwiększymy o $10\%$, wówczas wielkości te będą wynosiły odpowiednio $1$, $1r$ oraz $1$, $1h$.

Zatem objętość walca będzie wynosiła $V=\pi ·{\left(1,1r\right)}^2·1,1h=1,331\pi r^2·h=133,1\%·\pi r^2·h$.

Wobec tego objętość walca zwiększyła się o:

$133,1\%-100\%=33,1\%$.

Śruba wykonana z mosiądzu ma kształt bryły przedstawionej na poniższym rysunku. Obliczymy masę tej śruby, jeżeli wiadomo, że $1 {\mathrm{cm}}^3$ stopu waży $8,5 \mathrm{g}$. W obliczeniach przyjmiemy, że $\pi =3,14$.

R1GAENVlnLXNo

Ilustracja przedstawia dwa walce, pierwszy większy o średnicy podstawy równej cztery i wysokości o długości sześć. Drugi walec posiada średnice podstawy o długości dwa oraz wysokość o długości trzy. Oba walce są ze sobą połączone w taki sposób, że dolna podstawa mniejszego walca zawiera się w górnej podstawie większego walca. Bryła przypomina przycisk.

Rozwiązanie

Zauważmy, że bryła z rysunku zbudowana jest z dwóch walców.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:
$r_1$ – długość promienia mniejszego walca,
$r_2$ – długość promienia większego walca,
$h_1$ – długość wysokości mniejszego walca,
$h_2$ – długość wysokości większego walca.

Z rysunku odczytujemy, że:

$r_1=1 \mathrm{cm}$,

$h_1=3 \mathrm{cm}$,

$r_2=2 \mathrm{cm}$,

$h_2=6 \mathrm{cm}$.

Zatem objętość bryłyobjętość bryłyobjętość bryły wynosi:

$V=\pi ·1^2·3+\pi ·2^2·6=3\pi +24\pi =27\pi =27·3,14=84,78 {\mathrm{cm}}^3$.

Zatem masa tej śruby wynosi:

$84,78 \mathrm{g}·8,5 \mathrm{g}=720,63 \mathrm{g}$.

Prostokąt o boku długości $6$ i przekątnej długości $12$ obracamy wokół osi przechodzącej przez środki dłuższych boków. Obliczymy objętość otrzymanego walca.

Rozwiązanie

Narysujmy prostokąt oraz otrzymany walecwalecwalec, jak na poniższych rysunkach.

R1MX6zHAugjBb

Ilustracja przedstawia prostokąt oraz walec powstały poprzez obrót pierwszej figury wokół osi symetrii przechodzącej przez środki dłuższych boków. Długość dłuższego boku prostokąta wynosi x, długość krótszego to h, natomiast jego przekątna ma długość dwanaście. Walec posiada promień podstawy o długości r oraz wysokość o długości h.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy długość drugiego boku prostokąta, to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2+6^2={12}^2$

$x^2+36=144$

$x^2=108$

$x=6\sqrt{3}$.

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca, to $r=\frac{1}{2}·6\sqrt{3}=3\sqrt{3}$, a wysokość walca $h=6$.

Zatem objętość walca jest równa:

$V=\pi r^2·h$

$V=\pi ·{\left(3\sqrt{3}\right)}^2·6=162\pi$.

Obliczymy objętość walca z poniższego rysunku.

R13veYzIQiyzw

Ilustracja przedstawia walec o promieniu o długości osiem oraz wysokości o długości h. Promień oraz wysokość bryły zostały połączone odcinkiem o długości dwadzieścia, tworząc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych osiem i h oraz przeciwprostokątnej równej dwadzieścia.

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że promień podstawy $r=8$.

Do wyznaczenia długości wysokości $h$ wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa:

$8^2+h^2={20}^2$

$64+h^2=400$

$h^2=336$

$h=4\sqrt{21}$.

Wobec tego objętość bryły z rysunku wynosi:

$V=\pi ·8^2·4\sqrt{21}=256\pi \sqrt{21}$.

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót prostokąta wokół osi zawierającej jeden z jego boków

ilość sześcianów jednostkowych, jakimi można wypełnić daną bryłę