Obliczymy, ile metrów kwadratowych siatki potrzeba na ogrodzenie prostokątnej działki o polu równym $384 {\mathrm{m}}^2$, której jeden bok jest o $8 \mathrm{m}$ dłuższy od drugiego.

Niech:

$x$ - oznacza długość krótszego boku prostokątnej działki,

$x+8$ – długość dłuższego boku prostokątnej działki,

$384 {\mathrm{m}}^2$ - pole działki.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację w zadaniu:

$x(x+8)=384$

$x^2+8x-384=0$

$\mathrm{\Delta }=64-4·1·(-384)=64+1536=1600$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=40$

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_1=\frac{-8-40}{2}$

$x_1=-24$

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_2=\frac{-8+40}{2}$

$x_2=16$

Czyli krótszy bok działki ma długość $16 \mathrm{m}$.

Obwód działki jest równy $2\cdot 16+2\cdot 24=32+48=80$metrów.

Wokół trawnika o wymiarach $5 \mathrm{m} \times 8 \mathrm{m}$ zbudowano chodnik o szerokości $x\mathrm{m}$. Jaka jest szerokość chodnika, jeżeli jego pole powierzchni jest równe  $30{\mathrm{m}}^2$?

Niech:

$5\mathrm{m}\cdot 8\mathrm{m}$ -pole   powierzchni trawnika,

$x$ - szerokość chodnika,

$30{\mathrm{m}}^2$ - pole powierzchni chodnika,

$(5+2x)\cdot (8+2x)$ - pole powierzchni  prostokąta, ograniczającego trawnik wraz z chodnikiem.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację przedstawioną  w zadaniu:

$(5+2x)·(8+2x)-5·8=30$.

$40+10x+16x+4x^2-40=30$

$4x^2+26x-30=0$

$2x^2+13x-15=0$

$\mathrm{\Delta }={13}^2-4·2·(-15)=169+120=289$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=17$

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_1=\frac{-13-17}{2·2}$

$x_1=-\frac{15}{2}$

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_2=\frac{-13+17}{2·2}$

$x_2=1$

Szerokość chodnika to $1 \mathrm{m}$.

Znajdziemy dwie liczby, których iloczyn jest równy $6$, a suma jest równa $3\sqrt{3}$.

Niech:

$x$ - oznacza pierwszą liczbę,

$3\sqrt{3}-x$ - drugą liczbę.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację przedstawioną w zadaniu:

$x(3\sqrt{3}-x)=6$.

$3\sqrt{3}x-x^2=6$

$-x^2+3\sqrt{3}x-6=0$

$\mathrm{\Delta }=(3\sqrt{3}{)}^2-4·(-1)·(-6)=27-24=3$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{3}$

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_1=\frac{-3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{-2}$

$x_1=2\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$

$x_2=\frac{-3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{-2}$

$x_2=\sqrt{3}$

$y_1=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$, $y_2=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$

Liczby spełniające warunki zadania to $\sqrt{3}$ i $2\sqrt{3}$.

Obliczymy ile boków ma wielokąt wypukły, który ma $90$ przekątnych. Liczbę przekątnych w dowolnym wielokącie wypukłym obliczamy ze wzoru $\frac{n(n-3)}{2}$, gdzie $n$ oznacza liczbę boków wielokąta wypukłego $(n\in \mathrm{N}$ i $n>3)$.

Możemy zapisać równanie: $\frac{n(n-3)}{2}=90$.

$n(n-3)=180$

$n^2-3n-180=0$

$\mathrm{\Delta }=3^2-4·(-180)=9+720=729$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=27$

$n_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$n_1=\frac{3-27}{2}$

$n_1=-12$

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

$n_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$n_2=\frac{3+37}{2}$

$n_2=15$

Piętnastokąt wypukły ma $90$ przekątnych.

Na trójkącie prostokątnym opisano okrąg o promieniu $\sqrt{13}$. Obliczymy długości przyprostokątnych tego trójkąta wiedząc, że suma długości przyprostokątnych jest równa $10$.

Niech:

$x$ - oznacza długość pierwszej przyprostokątnej,

$10–x$ - długość drugiej przyprostokątnej.

Ponieważ przeciwprostokątna trójkąta jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącieokrąg opisany na trójkącieokręgu opisanego na tym trójkącie, więc ma długość $2\sqrt{13}$. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać równanie:

$x^2+(10-x{)}^2=(2\sqrt{13}{)}^2$

$x^2+100-20x+x^2=52$

$2x^2-20x+48=0$

$x^2-10x+24=0$

$\mathrm{\Delta }=(-10{)}^2-4·24=100-96=4$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=2$

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_1=\frac{10-2}{2}$

$x_1=4$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_2=\frac{10+2}{2}$

$x_2=6$

Zatem $y_1=10-4=6,y_2=10-6=4$.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego są równe $4$ i $6$.

okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki trójkąta