Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Przykład 1

Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest równy 504. Obliczymy te liczby.

Rozwiązanie

Kolejne liczby naturalne to n, n+1, n+2, n.

Zapiszemy równanie.

nn+1n+2=504

nn2+2n+n+2=504

nn2+3n+2=504

n3+3n2+2n-504=0

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej, aby zastosować metodę grupowania wyrazów.

n3-7n2+10n2-70n+72n-504=0

n2n-7+10nn-7+72n-7=0

n-7n2+10n+72=0

n-7=0 lub n2+10n+72=0

n=7 lub =100-4·72=-188<0 (brak rozwiązań)

n+1=8

n+2=9

Szukane liczby to 7, 8, 9.

Uwaga: Równanie można rozwiązać szukając dzielników wyrazu wolnego -504.

Przykład 2

Suma sześcianów trzech kolejnych liczb parzystychliczba parzysta liczb parzystych jest równa 1728. Obliczymy te liczby.

Rozwiązanie

Zapiszemy i rozwiążemy równanie opisujące powyższą sytuację.

2n3+2n+23+2n+43=1728, n

8n3+8n3+24n2+24n+8+8x3+48x2+96n+64=1728

24n3+72n2+120n+72=1728

24 n 3 + 72 n 2 + 120 n 1656 = 0   | : 24

n3+3n2+5n-69=0

n3-3n2+6n2-18n+23n-69=0

n2n-3+6nn-3+23n-3=0

n-3n2+6n+23=0

n-3=0 lub n2+6n+23=0

n=3 lub Δ = 36 4 23 = 36 92 = 56 < 0 (równanie nie posiada rozwiązań)

2n=6

2n+2=8

2n+4=10

Szukane liczby to 6, 8, 10.

Przykład 3

Iloczyn kwadratu  pewnej liczby dodatniej i kwadratu liczby o 1 od niej większej jest równy 400. Obliczymy liczbę spełniającą ten warunek.

Rozwiązanie

Niech:
x – szukana liczba,
x+1 – szukana liczba powiększona o 1,
x2·x+12 – iloczyn kwadratów liczb.

Zapiszemy następujące równanie

x2x+12=400.

Moglibyśmy wymnożyć lewą stronę równania, ale lepiej będzie skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia i w ten sposób doprowadzić do postaci iloczynowej.

[xx+1]2-400=0

[xx+1]2-202=0

xx+1-20xx+1+20=0

x2+x-20x2+x+20=0

x2+x-20=0 lub x2+x+20=0

=1+80=81 lub =1-80=-79<0

x 1 = 1 9 2 = 5 < 0

x 2 = 1 + 9 2 = 4

Ponieważ szukana liczba z treści zadania miała być dodatnia, więc x=4.

Przykład 4

Obliczymy liczby spełniające równocześnie równania 4x4+4x3-3x2=0x214x214x=0.

Rozwiązanie

Rozwiążemy najpierw równanie 4x4+4x3-3x2=0.

Wyłączymy przed nawias jednomian x2.

x2=0 lub 4 x 2 + 4 x 3 = 0

x=0

lub

=42-4·4·-3=16+48=64

=8

x1=-4-82·4=-128=-32

x2=-4+82·4=48=12

Równanie ma trzy rozwiązania -32, 0, 12.

Zajmiemy się teraz rozwiązaniem równania x214x214x=0.

x-12x+12xx-14=0

x-12=0 lub x+12=0 lub x=0 lub x-14=0

x=12 lub x=-12 lub x=0 lub x=14

Równanie ma cztery rozwiązania -12, 0, 14, 12.
Liczby spełniające jednocześnie oba równania to 012.

Przykład 5

Obliczymy sumę liczb spełniających równanie x3-5x-4=0.

Rozwiązanie

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

x3-x-4x-4=0

xx2-1-4x+1=0

( x + 1 ) [ x ( x 1 ) 4 ] = 0

x+1x2-x-4=0

x=-1 lub x1=1-172 lub x2=1+172

-1+1-172+1+172=-2+1-17+1+172=0

Suma liczb spełniających równanie jest równa 0.

Słownik

liczba parzysta
liczba parzysta

liczba postaci 2n dla dowolnego n