Rozważmy funkcję daną wzorem

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_f=\mathbb{R}\setminus\lbrace 3\rbrace$. Dziedzinę możemy też zapisać jako sumę przedziałów $D_f=(-\infty , 3)\cup (3,+\infty )$. Sprawdzimy czy funkcja posiada granicę w punkcie $x_0=3$. Na początek zapiszemy wzór funkcji w innej postaci. Wykorzystamy w tym celu definicję wartości bezwzględnejwartość bezwględna liczbywartości bezwzględnej. Rozważmy przypadki

1. Jeśli $2x-6 \gt 0$, to wówczas $x\gt 3$ oraz

   $f(x)=\frac{2x-6}{x-3}=\frac{2(x-3)}{x-3}=2.$

2. Jeśli $2x-6 \lt 0$, to wówczas $x\lt 3$ oraz

   $f(x)=\frac{-(2x-6)}{x-3}=\frac{-2(x-3)}{x-3}=-2.$

Zatem wzór funkcji możemy zapisać następująco

Zauważmy, że funkcja przyjmuje inną wartość na lewo oraz inną na prawo od punktu $x_0=2$. Poniżej znajduje się wykres funkcji $f$.

RwWIsmC5QnIrw

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y od minus 3 do 3 i poziomej osi x od minus 5 do pięć. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwa przedziały w formie prostych równoległych to osi x. Pierwszy z nich sięga od minus nieskończoności do 3, przy czym w punkcie nawias, 3, minus 2, zamknięcie nawiasu znajduje się niezamalowany punkt. Prosta ta jest na wysokości minus dwa. Druga prosta znajduje się na wysokości dwa. Rozpoczyna się w punkcie nawias 3, 2, zamknięcie nawiasu i biegnie do nieskończoności. Przy czym punkt nawias, 3, 2, zamknięcie nawiasu jest niezamalowany.

Chcąc wykorzystać definicję Heinego definicji funkcji w punkcie, rozsądne wydaje się rozważyć oddzielnie ciągi, których wszystkie wyrazy leżą tylko na lewo lub tylko na prawo od punktu $x_0=3$, tzn. takie, które zawierają się w lewo- lub prawostronnym sąsiedztwie tego punktu. Rozważmy zatem przypadki.

1. Niech $(x_n)$ będzie ciągiem argumentów funkcji $f$ zawartym w lewostronnym sąsiedztwie punktu $x_0=3$, tzn. $x_n\in (-\infty , 3)$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz zbieżnym do liczby $3$. Wówczas ciąg wartości funkcji $f$ jest ciągiem stałym równym $-2$, tzn. $f(x_n)=-2$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$. Zatem jego granica jest też równa $-2$.

2. Niech $(x_n)$ będzie ciągiem argumentów funkcji $f$ zawartym w prawostronnym sąsiedztwie punktu $x_0=3$, tzn. $x_n\in ( 3, +\infty)$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz zbieżnym do liczby $3$. Wówczas ciąg wartości funkcji $f$ jest ciągiem stałym równym $2$, tzn. $f(x_n)=2$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$. Zatem jego granica jest też równa $2$.

Powiemy, że liczba $g$ jest granicą lewostronną funkcji $f:D_f\to\mathbb{R}$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$, jeśli dla dowolnego ciągu $(x_n)$ argumentów funkcji $f$, który jest zwarty w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu $x_0$ (tzn. $x_n\in (x_0-\delta,x_0 )$ dla pewnej liczby $\delta \gt 0$ oraz dla każdego $n\in\mathbb{N}$) ciąg wartości $f(x_n)$ jest zbieżny do liczby $g$. Fakt ten zapisujemy następująco

Powiemy, że liczba $g$ jest granicą prawostronną funkcji $f:D_f\to\mathbb{R}$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$, jeśli dla dowolnego ciągu $(x_n)$ argumentów funkcji $f$, który jest zwarty w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu $x_0$ (tzn. $x_n\in (x_0,x_0+\delta )$ dla pewnej liczby $\delta \gt 0$ oraz dla każdego $n\in\mathbb{N}$) ciąg wartości $f(x_n)$ jest zbieżny do liczby $g$. Fakt ten zapisujemy następująco

Obliczymy granice jednostronne w punkcie $x_0=0$ funkcji danej wzorem

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_f=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$. Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwględna liczbywartości bezwzględnej aby pozbyć się modułu z mianownika. Rozważmy przypadki

1. Jeśli $x \gt 0$, to

2. Jeśli $x \lt 0$, to

Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w następujący sposób.

Biorąc teraz dowolny ciąg $(x_n)$ argumentów funkcji $f$ taki, że $x_n \gt 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz $\lim_{n\to +\infty}x_n=0$ widzimy, że $f(x_n)=x_n^2+1$ oraz

Zatem

Z drugiej strony biorąc dowolny ciąg $(x_n)$ argumentów funkcji $f$ taki, że $x_n \lt 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz $\lim_{n\to +\infty}x_n=0$ widzimy, że $f(x_n)=-x_n^2-1$ oraz

Zatem

Powiemy, że liczba $g$ jest granicą lewostronną funkcji $f:D_f\to\mathbb{R}$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$, jeśli dla dowolnej liczby $\varepsilon \gt 0$ istnieje liczba $\delta \gt 0$ taka, że dla każdego $x\in D_f$ jeśli $x_0 - \delta\lt x \lt x_0$, to $|f(x)-g|\lt \varepsilon$.

Powiemy, że liczba $g$ jest granicą prawostronną funkcji $f:D_f\to\mathbb{R}$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$, jeśli dla dowolnej liczby $\varepsilon \gt 0$ istnieje liczba $\delta \gt 0$ taka, że dla każdego $x\in D_f$ jeśli $x_0 \lt x \lt x_0+\delta$, to $|f(x)-g|\lt \varepsilon$.

Wyznaczymy granice jednostronne funkcji $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ na krańcach jej dziedziny.

Ponieważ pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb nieujemnych, więc funkcja $f$ jest poprawnie określona jeśli $4-x^2 \ge 0$. Zatem $D_f=\langle -2,2\rangle$.

Ze względu na dziedzinę funkcji $f$ w punkcie $x_0=-2$ istnieje jedynie granica prawostronna (funkcja jest określona tylko na prawo od $-2$). Wykażemy, że granica ta jest równa $0$. Wykorzystamy definicję Cauchy'ego. Weźmy w tym celu dowolną liczbę $\varepsilon \gt 0$. Niech $\delta = \frac{\varepsilon^2}{4}$. Weźmy dowolny $x\in D_f$ taki, że $-2\lt x\lt -2+\delta$. Wynika stąd, że

oraz

Stąd otrzymujemy

Z definicji Cauchy'ego granicy prawostronnej wynika zatem, że

W punkcie $x_0=2$ z kolei istnieje jedynie granica lewostronna, gdyż funkcja jest określona tylko na lewo od $2$. Analogicznie jak powyżej można wykazać, że

wartość bezwzględną (moduł) liczby $x$ definiujemy następująco