Rozwiążemy nierówność:

$\cos x\cos 3x\le 0$.

Rozwiązanie

Sposób 1

Zapiszemy równoważnie nierówność jako:

($\cos x\le 0$ i  $\cos 3x\le 0$) lub ( $\cos x\ge 0$ i  $\cos 3x\ge 0$).

Przypadek 1

Nierówność $\cos x\le 0$ jest równoważna warunkowi:

$x\in ⟨\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Nierówność $\cos 3x\le 0$ jest równoważna warunkowi:

$x\in ⟨\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3},\frac{\pi }{2}+\frac{2k\pi }{3}⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Zatem w przypadku pierwszym rozwiązaniem nierównościrozwiązanie nierównościrozwiązaniem nierówności jest zbiór:

$⟨\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,\frac{7\pi }{6}+2k\pi ⟩\cup \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przypadek 2

Nierówność $\cos x\ge 0$ jest równoważna warunkowi:

$x\in ⟨-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Nierówność $\cos 3x\ge 0$ jest równoważna warunkowi:

$x\in ⟨-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3},\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Zatem w przypadku drugim rozwiązaniem jest zbiór:

$⟨-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{\pi }{6}+2k\pi ⟩\cup \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Biorąc pod uwagę obydwa przypadki, rozwiązaniem nierówności zadania jest zbiór:

$⟨-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi ⟩\cup \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Sposób 2

Rysujemy w jednym układzie współrzędnych dwa wykresy funkcji $y=\cos x$ i $y=\cos 3x$ oraz odczytujemy w jakich przedziałach te funkcje mają przeciwne znaki lub przynajmniej jedna z nich się zeruje.

Zwróćmy uwagę na to, że wspólnym okresem tych funkcji jest liczba $t=2\pi$, a więc możemy rozważyć rozwiązania tylko w przedziale $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$, a potem uogólnić rozwiązanie.

R1CvvBoyvUngn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ do dwóch pi oraz z pionową osią Y od minus półtora do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji, wykres funkcji y równa się cosinus x, która ma okres równy dwa pi, a jej miejsca zerowe to punkty $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}; 0\right)$ oraz $\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}; 0\right)$. Druga funkcja określona jest wzorem $y=\cos 3x$ jej okres wynosi również dwa pi, natomiast wartości tej funkcji mają taki sam zakres, czyli zawierają się w przedziale . Miejsca zerowe tej funkcji to $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}; 0\right)$ oraz $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}; 0\right)$. Poza wykresami na osi X zaznaczono dwa odcinki. Pierwszy ograniczony jest zamalowanymi punktami $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6}; 0\right)$ oraz $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}; 0\right)$. Drugi odcinek ograniczony jest zamalowanymi punktami $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}; 0\right)$ oraz $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}; 0\right)$.

Odczytując zaznaczone przedziały otrzymujemy rozwiązanie: $⟨-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi ⟩\cup \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy nierówność:

$\cos x\left|\cos x\right|>\frac{1}{2}$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeżeli $\cos x<0$, to nierówność nie jest spełniona.

Jeżeli $\cos x\ge 0$, to nierówność z zadania przyjmuje postać: ${\cos }^{2}x>\frac{1}{2}$. Zatem w połączeniu z założeniem $\cos x\ge 0$ otrzymujemy nierówność:

$\cos x>\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Stąd dostajemy:

$(-\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{\pi }{4}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Po uwzględnieniu obydwu przypadków otrzymujemy odpowiedź:

$(-\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{\pi }{4}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy nierówność:

$|\cos x-\frac{1}{2}|<|\cos x+\frac{1}{2}-\sqrt{3}|$.

Rozwiązanie

Zadanie tego typu można rozwiązać przez rozważanie przypadków.

Jednak my zastosujemy inną metodę.

Ponieważ po obu stronach nierówności występują liczby nieujemne, możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu.

Pamiętamy także o tym, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość:$|x{|}^2=x^2$.

Zatem zapiszmy nierówność w postaci:

$|\cos x-\frac{1}{2}{|}^2<|\cos x+\frac{1}{2}-\sqrt{3}{|}^2$

$(\cos x-\frac{1}{2}{)}^2<(\cos x+\frac{1}{2}-\sqrt{3}{)}^2$

${\cos }^{2}x-\cos x+\frac{1}{4}<{\cos }^{2}x+\cos x(1-2\sqrt{3})+(\frac{1}{2}-\sqrt{3}{)}^2$

$-\cos x+\frac{1}{4}<\cos x(1-2\sqrt{3})+\frac{1}{4}-\sqrt{3}+3$

$(-2+2\sqrt{3})\cos x<3-\sqrt{3}$

Ponieważ $-2+2\sqrt{3}>0$, dzielimy nierówność stronami przez $-2+2\sqrt{3}$ i otrzymujemy:

$\cos x<\frac{3-\sqrt{3}}{-2+2\sqrt{3}}$

$\cos x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Rozwiązaniem nierówności jest zatem zbiór:

$(\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,\frac{7\pi }{6}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Udowodnimy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ spełniona jest nierówność:

$\cos \left(2\pi x\right)\le x^4-4x^3+6x^2-4x+2$.

Rozwiązanie

Kluczem do rozwiązania zadania jest następująca obserwacja: funkcja $y=\cos 2\pi x$ przyjmuje największą wartość $1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Zauważmy, że wzór funkcji $y=x^4-4x^3+6x^2-4x+2$ możemy zapisać korzystając z własności dwumianu Newtona jako: $y=(x-1{)}^4+1$.

Zauważmy również, że funkcja ta przyjmuje wartość najmniejszą $1$ dla argumentu $1$.

Stąd wynika, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ spełniona jest nierówność:

$\cos \left(2\pi x\right)\le x^4-4x^3+6x^2-4x+2$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy nierówność: $4{\cos }^{3}x+4{\cos }^{2}x-5\cos x-3\ge 0$.

Rozwiązanie

Dokonajmy podstawienia:

$t=\cos x$, gdzie $t\in ⟨-1,1⟩$.

Otrzymujemy nierówność wielomianową:

$4t^3+4t^2-5t-3\ge 0$.

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. Zatem możemy poszukać pierwiastków wymiernych.

Jeżeli wielomian ten ma pierwiastki wymierne, to muszą należeć do zbioru: $\{1,-1,3,-3,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{3}{2},-\frac{3}{2},\frac{3}{4},-\frac{3}{4}\}$.

Podstawiając od razu sprawdzamy, że pierwiastkiem jest $1$. Otrzymujemy zatem nierówność w postaci:

$(t-1)(4t^2+8t+3)\ge 0$.

Rozkładamy wyrażenie $4t^2+8t+3$ na czynniki:

$4t^2+8t+3=(2t+1)(2t+3)$.

Otrzymujemy zatem nierówność:

$(t-1)(2t+1)(2t+3)\ge 0$.

Ponieważ $t\in ⟨-1,1⟩$, więc $2t+3>0$.

Pozostaje rozwiązać nierówność kwadratową: $(t-1)(2t+1)\ge 0$.

Otrzymujemy: $t\le -\frac{1}{2}$ lub $t\ge 1$.

Zatem należy rozwiązać nierówności: $\cos x\le -\frac{1}{2}$ lub $\cos x\ge 1$.

Stąd ostatecznie dostajemy odpowiedź:

$x\in ⟨\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,\frac{4\pi }{3}+2k\pi )\cup \{2k\pi \}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

zbiór wszystkich elementów dziedziny nierówności, które spełniają tę nierówność