Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Już wiesz
RprKuDtk8rR651
Animacja ilustruje na osi liczbowej rozwiązywanie nierówności liniowych. Pierwsza nierówność: 2x +8 <0. Przenosimy liczbę 8 na drugą stronę nierówności. 2x <-8. Stronami dzielimy przez 2. x <-4. Na osi liczbowej w punkcie o współrzędnej -4 niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby mniejsze od -4. Zapis: x należy (minus nieskończoność, -4). Druga nierówność: -2x +6 mniejsze lub równe 0. Przenosimy liczbę 6 na drugą stronę nierówności. -2x mniejsze lub równe -6. Stronami dzielimy przez -2. x większe lub równe 3. Na osi liczbowej w punkcie o współrzędnej 3 zamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe lub równe 3. Zapis: x należy <3, nieskończoność). Trzecia nierówność: 2x +8 >2x +6 Przenosimy niewiadome na lewą stronę nierówności, a liczby na prawą. 2x -2x >6 -8. 0 >-2. Na osi liczbowej zaznaczone wszystkie liczby. Rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Czwarta nierówność: 2x +8 większe lub równe 2x +10. Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą stronę. 2x -2x większe lub równe 10 -8. 0 większe lub równe 2. Na osi liczbowej niezaznaczone żadne liczby. Nierówność sprzeczna. Rozwiązaniem jest zbiór pusty. Piąta nierówność: 2x +8 mniejsze lub równe 2x +8. Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą stronę. 2x -2x mniejsze lub równe 8 -8. 0 mniejsze lub równe 0. Na osi liczbowej zaznaczone wszystkie liczby. Rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Szósta nierówność: 2x +8 <2x +8. Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą stronę. 2x -2x <8 -8. 0 <0. Na osi liczbowej niezaznaczone żadne liczby. Nierówność sprzeczna. Rozwiązaniem jest zbiór pusty.

Rozwiązania powyższych nierówności doprowadziły nas do zdefiniowania przedziałów nieograniczonych

 Przedziały nieograniczone
Definicja:  Przedziały nieograniczone

Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

  • Zbiór liczb spełniających nierówność x>a nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy a,.

  • Zbiór liczb spełniających nierówność xa nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy a, .

  • Zbiór liczb x spełniających nierówność x<a nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy -,a.

  • Zbiór liczb x spełniających nierówność xa nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy -,a.

Przyjrzyjmy się teraz przedziałom ograniczonym.

Przykład 1
  • Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które jednocześnie spełniają nierówności x>-3x<5.

    RlZ55eSx7ncnm1
    Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 niezamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy (-3, 5).

    Taki przedział nazywamy otwartym. Należą do niego wszystkie liczby większe od (-3) i jednocześnie mniejsze od 5. Przedział otwarty oznaczamy -3,5 .Nierówności x>-3x<5 możemy zastąpić nierównością podwójną -3<x<5.

  • Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek -3x5.

    R1TvXXPQ4SS6Y1
    Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 zamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy <-3, 5>.

    Taki przedział nazywamy domkniętym. Należą do niego wszystkie liczby większe lub równe (-3) i jednocześnie mniejsze lub równe 5. Przedział domknięty oznaczamy -3, 5.

  • Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek -3<x5.

    RkA200Oa3dynD1
    Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 niezamalowane kółko, w punkcie 5 zamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy (-3, 5>.

    Taki przedział jest otwarty z lewej strony i  domknięty z prawej. Należą do niego wszystkie liczby większe od (-3) i jednocześnie mniejsze lub równe 5. Musimy pamiętać, że liczba (-3) nie należy do tego przedziału, a liczba 5 do niego należy. Przedział ten oznaczamy -3, 5.

  • Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek -3x<5.

    RvHBn7YrdUWYw1
    Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 zamalowane kółko, w punkcie 5 niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy <-3, 5).

    Taki przedział jest domknięty z lewej strony i  otwarty z prawej. Należą do niego wszystkie liczby większe lub równe (-3) i jednocześnie mniejsze od 5. Musimy pamiętać, że liczba (-3) należy do tego przedziału, a liczba 5 do niego nie należy. Przedział ten oznaczamy -3, 5.

 Przedziały ograniczone
Definicja:  Przedziały ograniczone

Niech ab będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym a<b.

  • Przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór liczb x spełniających warunek a<x<b. Przedział ten oznaczamy a, b.

  • Przedziałem obustronnie domkniętym nazywamy zbiór liczb x spełniających warunek axb. Przedział ten oznaczamy a, b.

Przykład 2

Usystematyzujemy wiadomości dotyczące przedziałów.

RD63hVC1xr7FO1
Przykład 3

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące jednocześnie do przedziału 0, 7 i do przedziału -2,4.

R5UcvaYH2rudY1
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 7 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich część wspólna. Zapis: (0, 7) iloczyn zbioru <-2, 4> =(0, 4>.
R1bsCHMTkEkUl1

Przedział 0,4 zawiera liczby, które należą do obu przedziałów jednocześnie. Przedział 0,4 jest częścią wspólną (iloczynem) przedziałów 0, 7-2,4.
Symbolicznie zapisujemy

0, 7-2,4=0,4.
Przykład 4

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące do przedziału 0, 7 lub do przedziału -2,4.

RCPhXx4RC2wLF1
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 4 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich suma. Zapis: (0, 7) suma zbioru <-2, 4> =<-2, 7).
RrVdQvjmjcGQt1

Przedział -2, 7 zawiera liczby, które należą do jednego z dwóch przedziałów (lub do obu jednocześnie). Przedział -2, 7 jest sumą przedziałów 0,7)-2,4.
Symbolicznie zapisujemy

0, 7-2,4=-2, 7.
 Część wspólna przedziałów. Suma przedziałów
Definicja:  Część wspólna przedziałów. Suma przedziałów
  • Częścią wspólną (iloczynem) przedziałów AB nazywamy zbiór złożony z liczb, które należą jednocześnie do obu przedziałów. Iloczyn przedziałów oznaczamy AB.

  • Sumą przedziałów AB nazywamy zbiór złożony z tych liczb, które należą tylko do jednego z przedziałów A lub B albo do obu przedziałów jednocześnie. Sumę przedziałów oznaczamy AB.

A
Ćwiczenie 1

Zaznacz na osi liczbowej liczby, które

  1. należą do sumy przedziałów -3,4 oraz 0,

  2. należą do sumy przedziałów -5,-2 oraz -2,5

  3. należą do części wspólnej przedziałów -,5-2,4

  4. należą do części wspólnej przedziałów 4,66,10