Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

W poniższych przykładach pokażemy zastosowania trygonometrii do opisu związków miarowych w figurach płaskich.

Przykład 1

W trójkącie równoramiennym ABC każde z ramion AC BC ma długość równą 10. Miara kąta ACB jest równa 45°. Obliczymy pole tego trójkąta.

RTcwI8Whu7H9Q1

Zauważmy, że wysokość AD, opuszczona na bok CB, odcina trójkąt prostokątny ADC. Ponieważ kąt ACD ma miarę 45°, to

ADAC=sin45°.

Wobec tego

AD=ACsin45°=1022=52

i pole P trójkąta ABC jest równe

P=12BCAD=121052=252.
Przykład 2

Rozpatrzmy trójkąt ostrokątny ABC, w którym dane są długości boków |AC| = b, |BC| = a oraz miara γ kąta ACB.
Zauważmy, że wysokość AD opuszczona na bok BC, odcina trójkąt prostokątny, w którym

ADAC=sinγ,

Przyjmując h=AD, otrzymujemy

hb=sinγ,

skąd

h=bsinγ.

Pole trójkąta ABC jest równe

PABC=12ah,

zatem

PABC=12absinγ.
RdvwbJ2sSdU041

Wobec tego pole trójkąta ostrokątnego możemy wyrazić za pomocą danych długości dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

Przykład 3

W równoległoboku ABCD dane są długości boków |AB| = 5|BC| = 2. Kąt DAB ma miarę 30°. Obliczymy pole tego równoległoboku.
Zauważmy, że przekątna DB dzieli dany równoległobok na dwa trójkąty przystające ADBCBD.

ReeGsaeqF27781

Ponieważ pole trójkąta ABD jest równe

PABD=12ABADsin30°=125212=52,

to pole równoległoboku ABCD jest równe 5.

Przykład 4

Rozpatrzmy równoległobok ABCD, w którym długości boków ABAD są równe odpowiednio a oraz b. Kąt ostry między tymi bokami ma miarę α.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, zauważmy, że przekątna DB dzieli dany równoległobok na dwa trójkąty przystające ADBBCD.

RQOZPurJAdypU1

Ponieważ pole trójkąta ABD jest równe

PABD=12ABADsinα=12absinα,

to pole równoległoboku ABCD jest równe

PABCD=2PABD=212absinα=absinα.
Przykład 5

W czworokącie ABCD przekątne długości |AC| = 11 oraz |BD| = 16 przecinają się w punkcie P pod kątem 60°. Obliczymy pole tego czworokąta.

R1Wq4E1ZzL3yw1

Poprowadźmy przez wierzchołki czworokąta ABCD cztery proste k, l, m, n równoległe odpowiednio do przekątnych tego czworokąta. Punkty przecięcia tych prostych oznaczmy K, L, M, N.

R1UUCxkM7RAdd1

Czworokąt KLMN jest równoległobokiem. Wobec tego |NK| = 11|KL| = 16 oraz kąt NKL ma miarę 60°. A zatem pole czworokąta KLMN jest równe

PKLMN=NKKLsin60°=161132=883.

Każdy z czworokątów APDM, BPAN, CPBKDPCL jest równoległobokiem, w którym jedna z przekątnych jest bokiem czworokąta ABCD.
Każda przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. Pola tych trójkątów są równe

PAPD=PAMD,PBPA=PBNA , PCPB=PCKB, PDPC=PDLC.

Ponadto pole czworokąta ABCD jest sumą pól trójkątów APD, BPA, CPBDPC. To znaczy, że pole równoległoboku KLMN jest dwa razy większe od pola czworokąta ABCD. Zatem

PABCD=12PKLMN=12883=443.
Przykład 6

Rozpatrzmy czworokąt ABCD, w którym długości przekątnych ACBD są równe odpowiednio d1 oraz d2, a kąt ostry między nimi ma miarę α.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, poprowadźmy przez wierzchołki czworokąta cztery proste k, l, m, n równoległe odpowiednio do przekątnych tego czworokąta. Punkty przecięcia tych prostych oznaczmy K, L, M, N.

R1MbubOZwGmAp1

Czworokąt KLMN jest równoległobokiem. Wobec tego |NK| = d1 |KL| = d2 oraz kąt NKL ma miarę α. Pole KLMN jest równe

PKLMN=NKKLsinα=d1d2sinα.

Każdy z czworokątów APDM, BPAN, CPBKDPCL jest równoległobokiem, w którym jedna z przekątnych jest bokiem czworokąta ABCD.
Przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. Pola tych trójkątów są równe

PAPD=PAMD,PBPA=PBNA,PCPB=PCKB,PDPC=PDLC.
ROA9EwunKm4hk1

Ponadto pole czworokąta ABCD jest sumą pól trójkątów APD, BPA, CPBDPC. To znaczy, że pole równoległoboku KLMN jest dwa razy większe od pola czworokąta ABCD, skąd

PABCD=12PKLMN=12d1d2sinα.
Przykład 7

W trójkącie ABC boki ACBC mają długości |AC| = 6|BC| = 4, a kąt między tymi bokami ma miarę 120°. Obliczymy pole tego trójkąta.
Zauważmy, że wysokość AD jest opuszczona na przedłużenie boku BC.

R1b9v5FA6G5p21

W trójkącie prostokątnym ADC kąt przy wierzchołku ma miarę 60°. Wówczas

ADAC=sin60°,

skąd

AD=ACsin60°=632=33.

Pole P trójkąta ABC jest więc równe

PABC=12BCAD=12433=63.

Wybierzmy dodatkowo na półprostej BC taki punkt E, że EC=BC. Wówczas trójkąty BAC oraz EAC mają równe boki BCEC oraz wspólną wysokość AD, opuszczoną z wierzchołka A.

RXd8giTG9EkTt1

Pola tych trójkątów są więc równe, co znaczy, że pole trójkąta ABC można wyrazić za pomocą danych długości boków i sinusa kąta przyległego do kąta rozwartego zawartego między tymi bokami

PABC=PACE=12ECCAsin60°=12BCCAsin60°=124632=63.
Przykład 8

Rozpatrzmy trójkąt rozwartokątny ABC, w którym dane są długości boków CB=aAC=b. Kąt ACB jest rozwarty i ma miarę γ.

Rnl3b8INQDYtn1

Niech AD będzie wysokością trójkąta ABC, przy czym punkt D niech leży na przedłużeniu boku BC. Postępując podobnie jak w poprzednim przykładzie, wybierzmy na półprostej BC taki punkt E, że

CE=a.
R1QlV5Asia9fZ1

Wówczas trójkąty ABCAEC mają równe pola, czyli

PABC=PACE=12ECCAsin180°-γ=12absin180°-γ.