Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Sinus kąta można rozważać także dla kąta prostego oraz rozwartego. Wówczas

sin90° = 1

i jeżeli α jest kątem ostrym, to

sin180°-α=sinα.

Z powyższych równości i z wcześniejszych przykładów wynika, że pole dowolnego trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między nimi.

 4
Twierdzenie:  4

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami.
Przy oznaczeniach takich jak na rysunku

PABC=12absinγ.
R1Gy7Naw9FVQD1
Przykład 1

W trójkącie ABC dane są długości boków: |BC| = 6, |AC| = 4. Kąt ACB ma miarę 120°. Na boku AB leży taki punkt D, że |∡ACD| = 60°. Obliczymy długość odcinka CD.
Zauważmy, że pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów ADCBDC.
Ponadto

PABC=1264sin120°=63.

Oznaczmy |CD| = x. Wtedy pola trójkątów ADCBDC możemy zapisać za pomocą x.

PADC=124xsin60°=3x
PBDC=12x6sin60°=332x.

Otrzymujemy równanie

332x+3x=63,

skąd

x=125.

Zatem

|CD| = 2,4.
Przykład 2

W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, a punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną z wierzchołka C. Wykażemy, że

AC2=ADAB.

Oznaczmy przez α miarę kąta BAC.

Rq8cVgSoy4aLm1

Wówczas w trójkącie ABC

cosα=ACAB,

a w trójkącie ACD

cosα=ADAC.

Stąd

ACAB=ADAC,

czyli

AC2=ADAB.

W ten sposób dowód został zakończony.

Przykład 3

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |BC| = 14,8|AC| = 11,1. Kwadrat DEFG jest wpisany w trójkąt ABC tak, że bok DE leży na przeciwprostokątnej AB, a wierzchołki F i G leżą na przyprostokątnych odpowiednio BCAC. Obliczymy długość boku tego kwadratu.

RSkcefoMjmkVY1

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC obliczamy długość boku  AB.

AB2=11,12+14,82
AB2=342,25

Ponieważ AB>0, to

AB=18,5.

Oznaczmy przez x długość boku kwadratu DEFG, a przez α miarę kąta BAC.
Stąd

CGF=α,EFB=α.

Każdy z trójkątów prostokątnych ADG, GCF oraz FEB jest zatem podobny do trójkąta ABC. Wobec tego stosunki długości boków w tych trójkątach możemy wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych kąta α.
W trójkącie ABC

sinα=14,818,5=45, cosα=11,118,5=35.

W trójkącie ADG

sinα=xAG,

a w trójkącie CGF

cosα=CGx.

Wynika z tego, że

xAG=45,CGx=35,

skąd

AG=54x,CG=35x.

Ale AG+CG=AC, więc 54x+35x=11110, a zatem 3720x=11110, czyli x=6.
Zatem długość boku kwadratu DEFG jest równa 6.