Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

W zadaniach tekstowych opisywane są zależności między wielkościami niewiadomymi. Analiza tych zależności powinna doprowadzić do zapisania związków między tymi wielkościami w postaci równania, nierówności, układu równań bądź układu nierówności.
Zadanie uważa się za rozwiązane, kiedy wyznaczymy wszystkie wartości niewiadomych, spełniające warunki zadania.

W poniższych przykładach będziemy rozwiązywać zadania tekstowe za pomocą równań, nierówności oraz układów równań liniowych.

Przykład 1

Znajdziemy trzy takie liczby, których suma jest równa 85. Pierwsza z tych liczb jest o 7 większa od drugiej i jest jednocześnie dwa razy mniejsza od trzeciej.
Jeżeli pierwszą z tych liczb oznaczymy przez x, to z treści zadania wynika, że druga jest równa  7, a trzecia jest równa 2x. Ponieważ suma tych trzech liczb jest równa 85, zatem otrzymujemy równanie

x+x-7+2x=85.

Rozwiązujemy równanie, przekształcając je równoważnie

x+x+2x=85+7
4x=92
x=23.

Pierwsza z tych liczb to 23, druga to 16, a trzecia to 46.

Przykład 2

Uczniowie rozwiązywali zadanie, za które można było otrzymać 0, 1 lub 2 punkty. Po ukończeniu pracy okazało się, że 23 uczniów otrzymało 2 punkty, 25% pozostałych otrzymało za rozwiązanie zadania 1 punkt, a 9 uczniów otrzymało 0 punktów. Obliczmy, ilu uczniów rozwiązywało zadanie.
Oznaczmy przez x liczbę uczniów rozwiązujących zadanie. Wtedy 23x to liczba uczniów, którzy uzyskali za zadanie 2 punkty, a 25%x-23x to liczba uczniów, którzy uzyskali 1 punkt.
Otrzymujemy równanie

23x+25%13x+9=x.

Obliczmy niewiadomą x

x-23x-1413x=9
12x-8x-x=912
3x=108
x=36.

Zatem zadanie rozwiązywało 36 uczniów.
.
22336=24
125%1412=3
36-24-3=9

Przykład 3
Rbjgc5QK9nygD1
Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Droga z Piotrkowa do Łodzi ma 54 km długości. O godz. 700 wyjechały tą drogą naprzeciw siebie dwa samochody: z Piotrkowa – samochód osobowy, a z Łodzi – samochód ciężarowy. Samochody te minęły się o godzinie 730. W jakiej odległości od Piotrkowa nastąpiło spotkanie tych pojazdów, jeżeli średnia prędkość samochodu osobowego była w tym czasie o 25% większa niż średnia prędkość samochodu ciężarowego?
Oznaczmy przez x średnią prędkość samochodu ciężarowego. Wtedy średnia prędkość samochodu osobowego była równa 125x. Do momentu spotkania każdy z pojazdów jechał przez pół godziny, czyli samochód ciężarowy przejechał 12x km, a samochód osobowy pokonał drogę długości 1254 x km. Suma długości tych dróg jest równa 54 km, a zatem

12x+1254x=54,

Stąd

4x+5x=432
9x=432
x=48.

Samochód ciężarowy przejechał 24 km, czyli spotkanie nastąpiło w odległości 30 km od Piotrkowa.

Przykład 4

Wyznaczymy wszystkie pary różnych liczb całkowitych, których suma jest równa 130, a większa z nich jest mniejsza od 68.
Oznaczmy mniejszą z liczb przez x. Wtedy większa z nich, która jest równa 130-x, spełnia dwa warunki
130-x>130-x<68.
Wynika z tego, że
2x<130 x>130-68,
czyli
x<65 x>62.
Stąd x=63 lub x=64. Zatem są dwie pary liczb całkowitych spełniających warunki zadania 6367 oraz 6466.