Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Przykład 1

Wskazówki na tarczy zegara pokazują godzinę 1200. Obliczmy, za ile minut obie wskazówki zegara utworzą kąt 90°.

  1. po raz pierwszy

  2. po raz drugi

Ruch po okręgu opisujemy za pomocą prędkości kątowej. Dla zegara prawidłowo odmierzającego czas prędkość wskazówki godzinowej to 30 stopni na godzinę (30°/h), a wskazówki minutowej to 360 stopni na godzinę (360°/h).
Oznaczmy przez x czas (w godzinach), po którym wskazówki po raz pierwszy od godziny 1200 utworzyły kąt 90°. Zauważmy, że kąt, zakreślony przez wskazówkę minutową jest o 90° większy niż kąt zakreślony przez wskazówkę godzinową. Wobec tego

30x+90=360x
330x=90
x=90 330h=311h=18011min.

A zatem po raz pierwszy wskazówki utworzą kąt 90° po upływie 16411 minut.

RRrSPIOREMB2T1

Oznaczmy przez y czas (w godzinach), po którym wskazówki po raz drugi od godziny 1200 utworzyły kąt 90°. Zauważmy, że kąt, zakreślony przez wskazówkę minutową jest o 270° większy, niż kąt zakreślony przez wskazówkę godzinową. Wobec tego

30x+270=360y
330y=270
y=270 330h=911h=54011 min.

Stąd wniosek, że wskazówki po raz drugi utworzą kąt 90° po upływie 49111 minuty.

R9HuD7K0rxzct1
Przykład 2

Na szkolną akademię z okazji Święta Niepodległości przyszło 520 uczniów. Można było usiąść na krześle lub w czteroosobowej ławce. Uczniowie zajęli w sumie 164 krzesła i ławki. Uczniów, którzy zajęli miejsca siedzące było 7 razy więcej niż pozostałych. Ustalimy, ile krzeseł było zajętych.
Obliczymy najpierw, ilu uczniów zajęło miejsca siedzące. Z treści zadania wynika, że było to 78520, czyli 455 osób.
Oznaczmy przez x liczbę zajętych krzeseł, a przez – liczbę zajętych ławek.
Wówczas

x+y=164x+4y=455,

skąd

x=164-y164-y+4y=455
x=164-y-y+4y=455-164
x=164-y3y=291
x=164-yy=97
x=164-97y=97.

Wobec tego x=67, czyli podczas akademii było zajętych 67 krzeseł. .

Przykład 3

Dwie maszyny tłoczą detale tego samego typu. W poniedziałek pierwsza maszyna pracowała 10 godzin, a druga 8 godzin i razem maszyny wyprodukowały 1940 detali. We wtorek pierwsza maszyna pracowała 3 godziny, a druga 5 godzin i razem wyprodukowały 894 takie detale. Ustalimy, ile godzin potrzebuje oddzielnie każda z maszyn, aby wyprodukować 5880 detali.
Oznaczmy:
x – liczba detali produkowanych przez pierwszą maszynę w ciągu godziny,
y – liczba detali produkowanych przez drugą maszynę w ciągu godziny.
Otrzymujemy układ równań

10x+8y=19403x+5y=894.

Zatem

50x+40y=9700-24x-40y=-7152,

skąd

26x=2548.

Czyli

x=98, y=120.

Stąd wniosek, że pierwsza maszyna wykona 5880 detali w ciągu 60 godzin, a druga – w ciągu 49 godzin.

Przykład 4
RNZhrA1OX5iPV1
Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

W pierwszym naczyniu znajduje się dwudziestoprocentowy roztwór wodny soli, w drugim – roztwór wodny soli o stężeniu 15%. Do trzeciego, początkowo pustego naczynia, przelano pewną ilość litrów pierwszego roztworu, po czym dolano tyle litrów roztworu z drugiego naczynia, że w trzecim naczyniu otrzymano roztwór o stężeniu 18%. W ten sposób do trzeciego naczynia przelano z pierwszego o k% więcej roztworu niż z drugiego naczynia.
Obliczymy k.
Opis wszystkich wielkości ujętych w zadaniu prezentujemy w poniższej tabeli.

Tabela 02

Odlane z pierwszego naczynia

Odlane z drugiego naczynia

Razem w trzecim naczyniu

Ilość roztworu

x
y
x+y

Ilość soli

20%x
15%y
20%x+15%y=18%(x+y)

Rozwiązujemy równanie

20%x+15%y=18%(x+y) 
20x+15y=18x+18y
2x=3y.

Stądx=32y, a zatem x=150%y=y+50%y, co znaczy, że k=50.

Przykład 5
R1Dzx1DapbMpM1
Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania zadania.

Ala spytała starszą koleżankę Olę: „Ile masz lat, Olu?”. Ola odpowiedziała: „Gdy ty będziesz w moim wieku, mój ojciec będzie od ciebie 3 razy starszy. Gdy ja byłam w twoim wieku, mieliśmy razem z moim ojcem 52 lata, a twój wiek stanowił dwie trzecie mojego.” Obliczymy, ile lat ma Ola.
Oznaczmy:

  • y – aktualny wiek Ali,

  • – aktualny wiek Oli.

W poniższej tabelce opisujemy fakty podane w treści zadania.

Tabela 03

gdy Ola była
w wieku Ali

teraz

gdy Ala będzie
w wieku Oli

wiek Ali

23y
y
x

wiek Oli

y
x

wiek ojca Oli

52-y
3x

Zauważmy, że y-23y=x-y, czyli x=43y.
Ponownie wypełniamy tabelkę.

Tabela 04

gdy Ola była
w wieku Ali

teraz

gdy Ala będzie
w wieku Oli

wiek Ali

23y
y
x=43y

wiek Oli

y
x=43y
53y

wiek ojca Oli

52-y=113y-13y=103y
4y-13y=113y
3x=4y

Mamy w tabelce komórkę z równaniem 52-y=103y, skąd y=12. To znaczy, że x=16, czyli Ola ma 16 lat.

Przykład 6

Znajdziemy wszystkie liczby czterocyfrowe, które po skreśleniu ostatniej cyfry zmniejszają się o 1269.
Oznaczmy:

  • x cyfra jedności szukanej liczby czterocyfrowej,

  • y liczba trzycyfrowa, która powstaje po skreśleniu ostatniej cyfry szukanej liczby czterocyfrowej.

Wtedy liczba czterocyfrowa to 10y+x.
Zapisujemy równanie

10y+x=y+1269,

skąd

9y+x=1269.

Zauważmy, że:

  • liczba x może przyjmować jedną z wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

  • liczba 1269x jest podzielna przez 9.

Ponieważ 1269=9141, x to możliwe
x=0x=9

  • x=0, y=141 szukaną liczbą czterocyfrow 1410.

  • x=9, y=140, szukaną liczbą czterocyfrowa 1409.

Przykład 7

Ustalimy, ile jest liczb trzycyfrowych, które mają następującą własność: jeżeli pomiędzy cyfrę jedności a cyfrę dziesiątek tej liczby wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia otrzymamy liczbę o 35 mniejszą od danej liczby trzycyfrowej.
Dla szukanej liczby trzycyfrowej wprowadzamy następujące oznaczenia:

  • x cyfra jedności,

  • y liczba dwucyfrowa otrzymana po skreśleniu cyfry jedności.

Wtedy dana liczba trzycyfrowa to 10y+x, a iloczyn, o którym mowa w treści zadania to yx.
Otrzymujemy równanie

10y+x=xy+35,

skąd

10y+x-xy=35
y10-x+x=35.

Jeżeli teraz od obu stron równania odejmiemy 10, to lewą stronę będziemy mogli zapisać w postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych.

y10-xx+x-10=35-10
y10-x-10-x=25
y-110-x=25.

Ponieważ liczba y jest dwucyfrowa, to liczba y-1 jest dodatnia, a skoro iloczyn y-110-x jest równy 25, to liczba 10-x jest również dodatnia. Obie liczby y-110-x są zatem całkowitymi i dodatnimi dzielnikami liczby 25.
Zauważmy, że liczba może przyjmować jedną z wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
Liczba 10-x jest dzielnikiem liczby 25 w dwóch przypadkach:

  1. x=5, wtedy 10-x=5 oraz y-1=255=5,

  2. x=9, wtedy 10-x=1 oraz y-1=25.

W pierwszym przypadku liczba y nie jest dwucyfrowa (y=6), czyli warunki zadania nie są spełnione.
W drugim przypadku y=26, skąd wniosek, że jedyną liczbą trzycyfrową o zadanych własnościach jest 269.