Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Przykład 1

Obliczymy wartość wyrażenia

sin227°+cos227°-3cos263°+sin263°+1.

Ponieważ dla dowolnego kąta ostrego α zachodzi równość

sin2α+cos2α=1,

to

sin227°+cos227°=1 , cos263°+sin263°=1.

Wobec tego

sin227°+cos227°-3cos263°+sin263°+1=1-31+1=-22=-1.
Przykład 2

Kąt α jest ostry i sinα=911. Obliczymy wartość wyrażenia cos2α.
Ponieważ

sin2α+cos2α=1,

to

cos2α=1-sin2α

dla dowolnego kąta ostrego α.
Skoro sinα=911, to

cos2α=1-9112=1-81121=40121.
Przykład 3

Kąt α jest ostry i cosα=34. Obliczymy wartość wyrażenia 3-sin αtg α.
Ponieważ

sinαcosα=tgα,

to

sinαtgα=sinαsinαcosα=sinαcosαsinα=cosα

Zatem dla cosα=34 otrzymujemy

3-sinαtgα=3-cosα=3-34=214.
Przykład 4

Wykażemy, że sin38°<tg38°.
Wiemy, że cos dowolnego kąta ostrego jest mniejszy od 1, więc

cos38°<1.

Mnożymy obie strony nierówności przez liczbę dodatnią sin38°cos38°.
Zatem

sin38°cos38° cos38°<sin38°cos38°

Ponieważ

sin38°cos38°=tg38°,

więc

sin38°<tg38°,

co należało wykazać.

Przykład 5

Kąt α jest ostry i cosα=53. Obliczymy wartość wyrażenia 2sin2α-cos2α.
Korzystając z tożsamości sin2α+cos2α=1, otrzymujemy

sin2α=1-cos2α.

Wobec tego

2sin2α-cos2α=21-cos2α-cos2α=2-2cos2α-cos2α=2-3cos2α.

Dla cosα=53 mamy

2sin2α-cos2α=2-3532=2-359=2-53=13.
Przykład 6

Kąt α jest ostry i sinα=0,3. Obliczymy cosαtgα.
Korzystając z tożsamości sin2α+cos2α=1, otrzymujemy cos2α=1-sin2α. Wobec tego dla sinα=0,3 mamy:

cos2α=1-sin2α=1-0,32=1-0,09=91100,

Ponieważ cosα>0, więc otrzymujemy

cosα=9110,

stąd

tgα=sinαcosα=3109110=391=39191.
Przykład 7

Kąt α jest ostry i sinα=74. Obliczymy wartość wyrażenia 10-9tg2α.

  • I sposób

Skoro sinα=74, to

cos2α=1-sin2α=1-742=1-716=916.

Ponieważ cosα>0, to cosα=34 oraz

tgα=7434=73.

Stąd

10-9tg2α=10-9732=10-979=10-7=3.
  • II sposób

Korzystając z tożsamości stosowanych w poprzednich przykładach, wyrazimy 10-9tg2α za pomocą sinα.

10-9tg2α=10-9sinαcosα2=10-9sin2αcos2α=10-9sin2α1-sin2α.

Wtedy dla sinα=74 otrzymujemy

10-9tg2α=10-9sin2α1-sin2α=10-97421-742=10-9716169=3.
Przykład 8

Kąt α jest ostry i tgα=115. Obliczymy sinαcosα.
Jeśli tgα=115, to sinαcosα=115, skąd sinα=115cosα. Ponadto sin2α+cos2α=1, czyli

115cosα2+cos2α=1.

Zatem

1125cos2α+cos2α=1
11cos2α+25cos2α=25
36cos2α=25
cos2α=2536.

Ponieważ cosα>0, to

cosα=2536=56,sinα=11556=116.
Przykład 9

Kąt α jest ostry i tgα=38. Obliczymy 2sinα+cosα2cosα-6sinα.

  • I sposób

Najpierw obliczamy sinαcosα.
Jeśli tgα=38, to sinα=38cosα. Ponadto sin2α+cos2α=1, skąd

38cosα2+cos2α=1.

Wobec tego

964cos2α+cos2α=1
9cos2α+64cos2α=64
cos2α=6473.

Ponieważ cosα>0, to cosα=6473=87373sinα=3887373=37373,
czyli wartość danego wyrażenia to

2sinα+cosα2cosα-6sinα=237373+87373287373-637373=1473-273=-7.
  • II sposób

Zauważmy, że jeśli tgα=38, to sinα=38cosα. Uwzględniając tę zależność, otrzymujemy

2sinα+cosα2cosα-6sinα=238cosα+cosα2cosα-638cosα=74cosα-14cosα=-7
  • III sposób

Korzystając z tożsamości tgα=sinαcosα, wyrazimy 2sinα+cosα2cosα-6cosα za pomocą tgα

2sinα+cosα2cosα-6sinα=2sinαcosα+cosαcosα2cosαcosα-6sinαcosα=2tgα+12-6tgα.

Skoro tgα=38, to

2sinα+cosα2cosα-6sinα=2tgα+12-6tgα=238+12-638=74-14=-7.
Przykład 10

Wykażemy, że jeżeli kąt α jest ostry i tgα+1tg α=9, to tg2α+1tg2α=79.
Skoro tgα+1tgα=9, to

tgα+1tgα2=81.

Stąd

tg2α+2tgα1tgα+1tg2α=81,

czyli

tg2α+2+1tg2α=81.

Wynika z tego, że tg2α+1tg2α=79, a to właśnie należało wykazać.

Przykład 11

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α wartość wyrażenia sinα+cosα2+cosα-sinα2 jest równa 2.
Przekształcamy wyrażenie

sinα+cosα2+cosα-sinα2=
=sin2α+2sinαcosα+cos2α+cos2α-2sinαcosα+sin2α=
=2sin2α+2cos2α=2sin2α+cos2α.

Korzystamy z tożsamości sin2α+cos2α=1, skąd

sinα+cosα2+cosα-sinα2=2sin2α+cos2α=21=2,

a to właśnie należało wykazać.

Przykład 12

Wykażemy, że jeżeli kąt α jest ostry i sinα+cosα=75, to sin4α+cos4α=337625.
Jeśli sinα+cosα=75, to sinα+cosα2=752, skąd sin2α+2sinαcosα+cos2α=4925.
Ponieważ sin2α+cos2α=1, to 2sinαcosα=4925-1, czyli sinαcosα=1225.
Przekształcając tożsamość sin2α+cos2α=1, otrzymujemy kolejno

sin2α+cos2α2=1
sin4α+2sin2αcos2α+cos4α=1
sin4α+cos4α=1-2sin2αcos2α
sin4α+cos4α=1-2sinαcosα2

Uwzględniając równość sinαcosα=1225, otrzymujemy

sin4α+cos4α=1-212252,

skąd

sin4α+cos4α=1-2144625=337625.

Koniec dowodu.

Przykład 13

W pewnym trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa 3125. Wykażemy, że iloczyn sinusów tych kątów jest równy 168625.
Oznaczmy przez αβ miary kątów ostrych w danym trójkącie. Wtedy sinβ=sin90°-α=cosα.
Z warunków zadania mamy sinα+sinβ=3125, czyli sinα+cosα=3125.
Wynika z tego, że

sinα+cosα2=31252=961625.

Ponadto

sinα+cosα2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα.

Zatem 1+2sinαcosα=961625, skąd

2sinαcosα=961625-1=336625,

czyli

sinαcosα=168625.

Koniec dowodu.

Przykład 14

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego α prawdziwa jest nierówność sinα+cosα2.
Skorzystamy z udowodnionej wcześniej tożsamości

sinα+cosα2+cosα-sinα2=2,

którą przekształcimy do postaci

cosα-sinα2=2-sinα+cosα2.

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, to cosα-sinα20 dla dowolnego kąta ostrego α.
Wynika z tego, że

2-sinα+cosα20,

czyli

sinα+cosα22.

Stąd

sinα+cosα2.

Koniec dowodu.