Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Przykład 1

Na podstawie spostrzeżeń poczynionych w poprzednich przykładach, uzupełnimy tabelkę, wpisując wartości sinusa, cosinusa i tangensa kątów: 30°, 45°, 60°.

Tabela 0.1
α
30°
45°
60°
sinα
12
22
32
cosα
32
22
12
tgα
33
1
3
Przykład 2

Trójkąt na rysunku jest prostokątny.

RdceORbDTzWF81

Dla tego trójkąta zachodzą następujące związki trygonometryczne:

sinα=817, cosα=1517, tgα=815

oraz

sin90°-α=1517, cos90°-α=817,tg90°-α=158.
Przykład 3

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę α, przyprostokątna leżąca naprzeciw tego kąta ma długość 5, a druga przyprostokątna ma długość 4. Wtedy

tgα=54.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej c tego trójkąta

c2=42+52.

Ponieważ c>0, stąd

 c=41.

Zatem

sinα=541 , cosα=441,

czyli

sinα=54141 , cosα=44141.
Ri9PAUbO3uGa71
Przykład 4

Obliczymy wartość wyrażenia

2sin42°+3cos48°5cos48°-4sin42°.

Zauważmy, że

42°+48°=90°.

Wobec tego

cos48°=cos90°-42°=sin42°,

a zatem

2sin42°+3cos48°5cos48°-4sin42°=2sin42°+3sin42°5sin42°-4sin42°=5sin42°sin42°=5.
Przykład 5

Kąt α jest ostry i sinα=23. Znajdziemy wartości cosαtgα.
Wystarczy w tym celu rozpatrzyć dowolny trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy 23. Najprostszym przykładem jest trójkąt o przeciwprostokątnej długości 3 i jednej z przyprostokątnych długości 2. Kąt α leży wtedy naprzeciwko tej przyprostokątnej.

R1DmJdkWuu35U1

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość b drugiej przyprostokątnej

22+b2=32.

Ponieważ b>0, stąd

b=5.

Zatem

cosα=53, tgα=25,

czyli

 tgα=255.
Przykład 6

Wykażemy, że jeżeli kąt α jest ostry i cosα=25, to α >60°.
Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, w którym AC=2AB=5. Wtedy cosBAC=25, co oznacza, że miary kątów BACα są równe.

R1SLyS87LwMgA1

Wybierzmy na przyprostokątnej BC taki punkt D, że AD=4.

RBGXOAgdynGik1

Wówczas cosDAC=24, czyli cosDAC=12, więc DAC=60°. Ponieważ DAC<BAC, to 60°<α. Koniec dowodu.
Uwaga. Zestaw wzorów, przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki, zawiera tablicę wartości funkcji trygonometrycznych. Można z niej odczytać, że cos68°0,4040cos69°0,3839. Wynika stąd, że kąt ostry α, dla którego cosα=0,4, jest kątem z przedziału 68°,69°.