Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj
Przykład 1

Zapisz iloczyn w postaci sumy.

  1. 3a+23a+2

  2. 2+4x2+4x

  3. x+yx+y

Korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

  1. 3a+23a+2=3a2+6a+6a+4=9a2+12a+4

  2. 2+4x2+4x=4+8x+8x+16x2=4+16x+16x2

  3. x+yx+y=x2+xy+xy+y2=x2+2xy+y2

Iloczyn dwóch takich samych wyrażeń to inaczej kwadrat danego wyrażenia.

x+yx+y=x+y2=x2+2xy+y2
RqiV3kPgaMlUg1
Animacja

Graficznie można ten wzór zilustrować, obliczając pole kwadratu o boku a+b.

RKtR1n431Kiqq1
Animacja przedstawia kwadrat o boku a +b. Kwadrat zbudowany jest z: kwadratu o boku a, kwadratu o boku b oraz dwóch prostokątów o bokach a, b. Pole kwadratu o boku a +b jest równe sumie pól figur, na które został podzielony. Zapis: (a +b) do kwadratu = a kwadrat + 2a razy b + b kwadrat. Jest to interpretacja graficzna kwadratu sumy dwóch wyrażeń.
Przykład 2

Oblicz.

  1. a-32

  2. 4x-12

  3. x-y2

Różnicę dwóch wyrażeń zapisujemy w postaci sumy i korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy. Otrzymamy wtedy

  1. a-32=a+-32=a2+2-3a+-32=a2-6a+9

  2. 4x-12=4x+-12=4x2+2-14x+-12=16x2-8x+1

  3. x-y2=x+-y2=x2+2x-y+-y2=x2-2xy+y2

Otrzymujemy wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

x-y2=x2-2xy+y2.
Przykład 3

Zapisz iloczyn w postaci sumy.

  1. 3x-13x+1

  2. 2a-42a+4

  3. x+yx-y

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania, otrzymujemy

  1. 3x-13x+1=9x2-3x+3x-1=9x2-1

  2. 2a-42a+4=4a2-8a+8a-16=4a2-16

  3. x+yx-y=x2-xy+xy-y2=x2-y2

Zauważmy, że po pomnożeniu sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę, otrzymamy różnicę kwadratów tych wyrażeń:

x+yx-y=x2-y2.
R3d4ueDsUTOXZ1
Animacja
Przykład 4

Ten wzór możemy zilustrować graficznie, porównując pola sześciokąta i prostokąta.

R1GpiETbUJwpc1
Animacja przedstawia kwadrat o boku długości x. Pole kwadratu o boku x jest równe x kwadrat. Przesuwając jeden z wierzchołków kwadratu wzdłuż boku zmniejszamy długość boku kwadratu o y. Otrzymujemy zależność x kwadrat – y kwadrat = (x +y) razy (x –y). Jest to interpretacja graficzna różnicy kwadratów dwóch wyrażeń.