Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Ciekawostka
  • Odpowiednikiem układu współrzędnych na płaszczyźnie jest układ współrzędnych w przestrzeni. Za jego pomocą można opisać na przykład ruch samolotu.

Ciekawostka
  • Układ ten składa się z trzech wzajemnie prostopadłych osi liczbowych X, Y, Z. Położenie punktu w przestrzeni określa trójka liczb (x, y, z).

Zbiory punktów w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych można zaznaczać nie tylko poszczególne punkty, ale zbiory punktów, tworzące proste czy półpłaszczyzny.

Przykład 1

Zaznacz w układzie współrzędnych kilka punktów, których obie współrzędne są sobie równe.
W których ćwiartkach układu współrzędnych leżą te punkty? Jaką figurę otrzymasz, gdy połączysz te punkty?

RcxoO8nADSF8W1
Animacja pokazuje punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J leżące w układzie współrzędnych. Należy tak umieścić punkty, aby w każdym punkcie obie współrzędne były równe. Zauważamy, że punkty, których obie współrzędne są równe, leżą w pierwszej lub w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Po połączeniu dwóch punktów otrzymujemy odcinek, a po połączeniu wszystkich punktów otrzymujemy prostą. Punkty mają współrzędne P =(x, y), gdzie y = x. Mówimy, że prosta ta równanie y = x.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 2
R11qbfPFcLUnT1
Animacja pokazuje punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J leżące w układzie współrzędnych. Należy tak umieścić punkty, aby w każdym punkcie obie współrzędne różniły się znakiem (były przeciwne). Zauważamy, że punkty, których obie współrzędne różnią się jedynie znakiem leżą w drugiej lub w czwartej ćwiartce. Po połączeniu dwóch punktów otrzymujemy odcinek, a po połączeniu wszystkich punktów otrzymujemy prostą. Punkty mają współrzędne P =(x, y), gdzie y = -x. Mówimy, że prosta ta równanie y = -x.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 3

Zaznacz w układzie współrzędnych kilka punktów, których druga współrzędna jest połową pierwszej współrzędnej. Połącz te punkty. Jaką figurę utworzyły? Jak opisać zależność między współrzędnymi tych punktów?

R1awozay9UF8r1
Animacja pokazuje punkt P leżący w układzie współrzędnych. Należy zaznaczyć w układzie współrzędnych kilka punktów, których druga współrzędna jest dwukrotnie mniejsza od pierwszej. Następnie należy połączyć te punkty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Punkty, których druga współrzędna jest połową pierwszej współrzędnej, leżą na prostej. Są to wszystkie punkty P=(x, y) takie, że y=12xx jest dowolną liczbą rzeczywistą.

RCw7SLoGP7c9D1
Animacja pokazuje punkt P leżący w układzie współrzędnych. Należy poruszać punktem P, który pozostawia ślady i obserwować współrzędne powstałych punktów. Zauważamy, że punkty o odciętej dwukrotnie większej od rzędnej leżą na pewnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych oraz pierwszą i trzecią ćwiartkę. Do prostej należą między innymi punkty o współrzędnych: (-8, -4), (-4, -2), (4, 2) i (8, 4).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
i3hyB5LcdR_d5e288
A
Ćwiczenie 1

Zaznacz w układzie współrzędnych kilka punktów, których druga współrzędna jest większa od pierwszej. W których ćwiartkach układu współrzędnych mogą się znaleźć takie punkty?
Jaką figurę tworzą?

R4NrxdsW6yFgC1
Animacja pokazuje punkt P leżący w układzie współrzędnych. Należy poruszać punktem P, który pozostawia ślady i obserwować współrzędne powstałych punktów. Zauważamy, że punkty o rzędnej dwukrotnie większej od jego odciętej, leżą na pewnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych oraz pierwszą i trzecią ćwiartkę. Do prostej należą między innymi punkty o współrzędnych: (-4, -8), (-2, -4), (2, 4) i (4, 8).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 4

Zaznaczymy w układzie współrzędnych trzy punkty o współrzędnych (x, x+3), gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Zapis (x, x+3)oznacza, że pierwsza współrzędna punktu jest dowolna, a druga jest o 3 większa od pierwszej.

  • Jeśli pierwsza współrzędna punktu A będzie równa 1, to druga jest równa 1+3=4.
    Zapisujemy: x=1, y= 1+3=4. Wtedy A=(1,4).

  • Jeśli pierwsza współrzędna punktu B będzie równa 1, to druga jest równa -1+3=2.
    Zapisujemy x=-1, y= -1+3=2. Wtedy B=(-1,2).

  • Jeśli pierwsza współrzędna punktu C będzie równa 3, to druga jest równa -3+3=0.
    Zapisujemy x=-3, y= -3+3=0. Wtedy C=(-3,0).

    RA3hulDGrkhn31
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

A
Ćwiczenie 2
RE6S2yenNK5Bc1
Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi punktami o współrzędnych A =(2, 3), B =(2, 2), C =(5, 2), D =(3, 0), E =(0, 1), F =(-2, 2), G =(-2, 0), H =(-1, -1), I =(0, -1), J =(2, -2), K =(4, -2).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
i3hyB5LcdR_d5e376
A
Ćwiczenie 3

Odszyfruj sentencję, którą przypisuje się francuskiemu filozofowi Kartezjuszowi.
1,3, 4,4, 2,3, 3,1, 5,4, 4,4,2,1, 5,2, 2,3, 4,4,(5,3), (6,1), (4,2).

RRRNhMbCFPtsM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
C
Ćwiczenie 4

Zapisz za pomocą wzoru zależność między współrzędnymi punktów zaznaczonych w układzie współrzędnych.

RDUnuV5IDKm6d1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 5

Które z poniższych punktów mają rzędną będącą połową odciętej?

R1BU4R4wsNq19
static
A
Ćwiczenie 6

Ile punktów, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi, należy do wyróżnionego obszaru?

RzwQFAaTRgATV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7

Umieść podane punkty w odpowiednich miejscach układu współrzędnych. W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się największa liczba punktów, a w której najmniejsza?
Podane jest 10 punktów:

A=2, 3, B=3, 2, C=0, -4, 
D=-4, 0, E=-2, 4, F=2, -4, G=4, -2, 
H=-4, 2, I=-5, -5, J=5, 5.
A
Ćwiczenie 8

Narysuj układ współrzędnych, dobierając odpowiednią jednostkę, i zaznacz w nim punkty:
A=(20, 70) 
B=(-30, 20) 
C=(-40, 0) 
D=(0, -20) 
E=(-60, -70) 
F=(50, -50) 
Wypisz punkty

  1. leżące na osi rzędnych

  2. leżące na osi odciętych

  3. których współrzędne są liczbami przeciwnymi

  4. należące do I, II, IIIIV ćwiartki układu współrzędnych

B
Ćwiczenie 9

Zaznacz w układzie współrzędnych taki punkt, którego suma współrzędnych jest równa 0. Zaznacz jeszcze 7 takich punktów. Jaka jest zależność między pierwszą a drugą współrzędną każdego z punktów?

classicmobile
Ćwiczenie 10

Punkt P ma obie współrzędne różne od 0. Jeśli suma współrzędnych punktu P jest równa 0, to punkt leży

R1F8Su74duoQ5
Możliwe odpowiedzi: 1. w I lub w  II ćwiartce układu współrzędnych, 2. w  II lub w  III ćwiartce układu współrzędnych, 3. w  II lub w  IV ćwiartce układu współrzędnych, 4. w  I lub w  IV ćwiartce układu współrzędnych
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Punkt = (x, y) leży na osi X i nie leży na osi Y. Wynika z tego, że

R1NYcax0LwOVD
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R19GZZ1gngtF7
static
i3hyB5LcdR_d5e716
B
Ćwiczenie 13

Narysuj układ współrzędnych i zaznacz w nim poniższe punkty.
A=2, 3, B=5, 0, C=0, -3, D=6, 1 
E=-4, 4, F=-3, 0, G=-1, -2, H=-3, -7 
 I=5, -2, J=(4, -4), K=(2, -6), L=(0, 0).
Wypisz punkty, których suma współrzędnych jest liczbą

  1. nieujemną

  2. niedodatnią

B
Ćwiczenie 14

Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A=(x, y) taki, że

  1. x=3, y= x-2

  2. x=-2, y=x-1

  3. x=1, y=2x

  4. x=y, y=-3

C
Ćwiczenie 15

Zaznacz w układzie współrzędnych 5 punktów spełniających podany warunek. Na jakiej prostej leżą wszystkie te punkty?

  1. Pierwsza współrzędna jest dwukrotnie mniejsza od drugiej.

  2. Druga współrzędna jest równa 4.

  3. Pierwsza współrzędna jest równa -3.

C
Ćwiczenie 16

Punkt =(-5,6) przesunięto najpierw o 9 jednostek w lewo, wzdłuż osi X, a następnie tak otrzymany punkt przesunięto w górę o 7 jednostek, wzdłuż osi Y. Określ współrzędne otrzymanego punktu.

C
Ćwiczenie 17

Określ współrzędne środka S odcinka AB, gdy

  1. A=-6,-4, B=(4,6)

  2. A= (0,5), B=(4,-3)

C
Ćwiczenie 18

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów (x,y), których współrzędne spełniają podany warunek.

  1. -2x30y4

  2. 0,5x-3,5-1,5y5,5

C
Ćwiczenie 19

Zapisz warunek, jaki muszą spełniać współrzędne punktów należących do zaznaczonego obszaru.

RpwTaXE0fq2qL1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 20

Wyznacz współrzędne 3 punktów znajdujących się na odcinku AB, gdzie A=-4,4, B=(3,-3).

A
Ćwiczenie 21

W którym z punktów A=(0,5;-12), B=0, 119 czy C=34, -1 różnica między współrzędnymi jest największa?