Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Już wiesz

Szukając liczb, które spełniają równanie, możemy to równanie przekształcać równoważnie. Stosujemy następujące zasady

  • po obu stronach równania można wykonać wskazane działania (np. wykorzystując wzory skróconego mnożenia),

  • do obu stron równania możemy dodać to samo wyrażenie, pod warunkiem że nie zmienimy dziedziny równania (wyrażenia możemy przenosić z jednej strony równania na drugą pod warunkiem zmiany znaku tego wyrażenia na przeciwny),

  • możemy mnożyć lub dzielić obie strony równania przez dowolną liczbę różną od zera.

Przykład 1
  • Rozwiąż równanie

x+12=2-x-14.

Mnożymy obie strony równania przez 4.

2x+1=8-x-3
2x+2=8-x+3
2x+x=8-2+3
3x=9
x=3

Rozwiązaniem równania x+12=2-x-34 jest liczba 3.

  • Rozwiąż równanie

3x-5=x+2x+4.

Przekształcając kolejno, otrzymujemy

3x-5=x+2x+4
3x-15=x+2x+8
3x-x-2x=15+8
0x=23

Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ 023. Zatem nie istnieje liczba, która spełnia to równanie. Jest to równanie sprzeczne.

  • Wyznacz liczby, które spełniają równanie

x-3x+2+1=x-1x+5-5x.

Po przekształceniach otrzymujemy

x2-3x+2x-6+1=x2-x+5x-5-5x
x2-x-5=x2-x-5.

Po obu stronach równania otrzymaliśmy to samo wyrażenie. Z tego wynika, że równanie jest spełnione dla dowolnej liczby x. Jest to równanie tożsamościowe.

Przykład 2

Rozwiąż nierówność

3x-4<5x+2.

Przy rozwiązywaniu nierówności możemy wykorzystywać zasady podobne do tych, które pozwalały rozwiązywać równania. Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną, musimy zmienić zwrot nierówności.

Zapamiętaj!

Obie strony nierówności możemy mnożyć lub dzielić przez dowolną liczbę:

  • dodatnią – wtedy zachowujemy ten sam zwrot nierówności,

  • ujemną – wtedy zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny.

W każdym przypadku otrzymamy nierówność równoważną danej.

Przykład 3

Zaznaczmy na osi liczbowej liczby spełniające nierówność x>-3.

RYtc7lhDsn3rb1
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 niezamalowane kółko. Na osi zaznaczone liczby większe od -3. Zapis: x należy (-3, nieskończoność).

Do zbioru (-3,+) należą liczby większe od (-3). Zbiór taki nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie otwartym. Zapis x-3,+  oznacza, że liczba x należy do tego przedziału, np. 4(-3, +), a zapis x-3+ oznacza, że liczba x nie należy do tego przedziału np.-5-3+.

Przykład 4

Prześledzimy rozwiązanie „krok po kroku”.

R62Bw71J8hl2A1
Animacja przedstawia rozwiązanie „krok po kroku” nierówności 3x -4 <5x +4. Niewiadome przenosimy na lewą stronę nierówności a liczby na prawą. 3x -5x <2 +4. Przenosząc wyrażenie na drugą stronę nierówności zmieniamy jego znak. -2x<6. Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę stojącą przy niewidomej x. x> -3. Dzielenie stron nierówności przez liczbę ujemną wymaga zmiany zwrotu tej nierówności. Rozwiązanie nierówności na osi liczbowej z zaznaczonymi punktami od -4 do 4. W punkcie o współrzędnej -3 niezamalowane kółko. Na osi zaznaczone liczby większe od -3. Zapis: x należy (-3, nieskończoność).
Przykład 5

Rozwiąż nierówność

5x+72>3x+5.

Przekształcamy nierówność równoważnie.

5x+72>3x+5
5x+7>6x+10
5x-6x>10-7
-x>3
x<-3.

Rozwiązaniem nierówności 5x+72>3x+5 jest każda liczba mniejsza od -3.
Zaznaczymy wszystkie liczby spełniające nierówność x<-3  na osi liczbowej.

R1ILa7fOB7i3N1
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 niezamalowane kółko. Na osi zaznaczone liczby mniejsze od -3. Zapis: x należy (minus nieskończoność, -3).

Zbiór -,-3 nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym. Należą do niego liczby mniejsze od (-3).

Przykład 6

Rozwiąż nierówność

x-22x+4x+1-9.

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają tę nierówność.
Rozwiązujemy nierówność.

x-22x+4x+1-9
x2-4x+4x2+4x+x+4-9
x2-4x-4x-x-x24-9-4
-9x-9
x1

Rozwiązaniem nierówności x-22x+4x+1-9 jest każda liczba większa lub równa 1.
Zaznaczymy wszytskie liczby spełniające nierówność x1 na osi liczbowej.

R1TrnOTIH8Dzw1
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej 1 zamalowane kółko. Na osi zaznaczone liczby większe lub równe 1. Zapis: x należy <1, nieskończoność).

Zbiór 1, ∞) nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym. Należą do niego liczby większe od 1, razem z liczbą 1.

Przykład 7

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające nierówność

x-32x-35.

Rozwiążemy nierówność.

x-32x-35
5x-32x-3
5x-152x-3
3x12
x4

Rozwiązaniem nierówności x-32x-35 jest każda liczba mniejsza lub równa 4.
Zaznaczymy wszystkie liczby spełniające nierówność x4na osi liczbowej.

R1ESCxD2MmEx31
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej 4 zamalowane kółko. Na osi zaznaczone liczby mniejsze lub równe 4. Zapis: x należy (minus nieskończoność, 4>.

Zbiór -,4 nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym. Należą do niego liczby mniejsze od 4, razem z liczbą 4.