Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Poszukiwanie miejsc zerowych funkcji W sprowadza się najczęściej do rozwiązania równania Wx=0. Do tej pory rozwiązywaliśmy takie równania, w których Wx był wielomianem stopnia pierwszego - wtedy otrzymywaliśmy równanie liniowe. Jeżeli Wx był wielomianem stopnia drugiego, otrzymywaliśmy równanie kwadratowe. Teraz dowiesz się, jak rozwiązywać niektóre z równań, w których występuje wielomian stopnia wyższego niż dwa. Nie jest to zadanie łatwe. Dla dowolnych wielomianów stopnia piątego lub wyższego takie metody w ogóle nie istnieją. Pokażemy więc, jak możesz sobie poradzić w pewnych szczególnych przypadkach.

Przykład 1

Rozwiążemy równania:

  • x3+64=0

Odejmujemy od obu stron równania liczbę 64 i otrzymujemy równanie x3=-64. Jedyną liczbą spełniającą to równanie jest x=-643=-4.

  • 2x4-162=0

2x4=162
x4=81

Jedyną dodatnią liczbą, która spełnia to równanie, jest x=814=3, co wynika z definicji pierwiastka. Zauważmy, że jeżeli wykładnik k potęgi xk jest parzysty, to xk=-xk, co oznacza, że jeśli liczba 3 jest rozwiązaniem równania x4=81, to również liczba -3 jest rozwiązaniem tego równania, bo -34=34=81. Równanie ma zatem dwa rozwiązania x=3 oraz x=-3.

  • x6+64=0.
    Zauważmy, że to równanie jest sprzeczne, gdyż lewa strona tego równania jest sumą nieujemnej liczby x6 oraz 64. Jest więc nie mniejsza niż 64 dla dowolnej liczby x. Nie może więc równać się 0.

Rozwiązanie równania xn=a
Twierdzenie: Rozwiązanie równania xn=a

Dla liczby naturalnej dodatniej n, większej od 1, oraz liczby rzeczywistej a0 równanie xn=a ma

  • jedno rozwiązanie równe x=an, gdy n jest liczbą nieparzystą,

  • dwa rozwiązania równe x=an oraz x=-an, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą dodatnią,

  • zero rozwiązań, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą ujemną.

Przykład 2

Udowodnij, że równanie -x4-x2-5=0 jest równaniem sprzecznym.
Zauważmy, że lewa strona równania jest sumą niedodatniej liczby -x4, niedodatniej liczby -x2 oraz ujemnej liczby -5, więc jest liczbą ujemną. Nie może więc być równa 0.
Przejdziemy teraz do rozwiązywania równań, których jedna ze stron jest iloczynem wielomianów, a druga strona jest równa 0. Będziemy tu korzystać z faktu, że iloczyn jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest równy 0.

Przykład 3

Rozwiążemy równania

  • xx-4x+2=0

Lewa strona równania jest iloczynem trzech czynników. Jeśli iloczyn ten równa się zero, to co najmniej jeden z czynników jest równy zero, czyli x=0 lub x-4=0 lub x+2=0. Stąd wynika, że równanie ma trzy rozwiązania x1=0, x2=4 oraz x3=-2.

  • x2-162x2+9x-5x4+4=0

W tym równaniu także lewa strona jest iloczynem trzech czynników, a prawa strona jest równa zero. Tak jak poprzednio wnioskujemy, że co najmniej jeden z czynników musi być równy zero, czyli x2-16=0 lub 2x2+9x-5=0 lub x4+4=0. Rozwiązujemy kolejno otrzymane równania.
x2-16=0 przekształcamy równoważnie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, do równania

x-4x+4=0

Stąd x-4=0 lub x+4=0. Otrzymujemy więc dwa rozwiązania x1=4 oraz x2=-4.

2x2+9x-5=0

jest równaniem kwadratowym, którego =121. Równanie to ma więc dwa rozwiązania

x1=-9-114=-5

oraz

x2=-9+114=12
x4+4=0

zgodnie z podanym wcześniej twierdzeniem, nie ma rozwiązań.
Zatem rozpatrywane równanie ma cztery rozwiązania x1=4 , x2=-4, x3=-5 oraz x4=12.

Teraz pokażemy, jak niektóre równania doprowadzić do takiej postaci, jaką miały równania omawiane w poprzednim przykładzie.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie x3+x2-6x=0.
Wyłączając x przed nawias, otrzymujemy równanie

xx2+x-6=0,

którego lewa strona jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero. Zatem co najmniej jeden z tych czynników jest równy zero, czyli x=0 lub x2+x-6=0. Rozwiązujemy drugie równanie.

=12-4-6=25

Ponieważ >0, więc równanie to ma dwa rozwiązania x1=-1-52=-3 oraz x2=-1+52=2. Rozwiązywane równanie ma więc trzy rozwiązania x1=0, x2=-3 oraz x3=2.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie

x4-8x2+16=0

Zauważmy, że lewą stronę możemy zapisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, w następujący sposób

x2-42=0

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, otrzymujemy kolejno

x-2x+22=0
x-22x+22=0

Stąd wnioskujemy, że x-22=0 lub x+22=0, czyli x-2=0 lub x+2=0. Zatem x=2 lub x=-2.

Przykład 6

Rozwiążemy równanie

x4-x3-8x+8=0

Żeby rozwiązać to równanie, pogrupujemy wyrazy. W tym celu wyłączmy przed nawias x3 z dwóch pierwszych wyrazów oraz -8 z dwóch ostatnich. W ten sposób otrzymamy równanie równoważne

x3x-1-8x-1=0,

w którym lewa strona jest różnicą dwóch iloczynów. W każdym z tych iloczynów występuje wspólny czynnik (x-1). Gdy wyłączymy go przed nawias, otrzymamy równanie

x-1x3-8=0

W ten sposób otrzymaliśmy równanie, którego lewa strona jest iloczynem dwóch czynników, a prawa jest równa zero. Stąd otrzymujemy x1-1=0 lub x3-8=0. Pierwsze równanie spełnia jedynie liczba x=1. Drugie równanie przekształcimy do postaci x3=8. Jedyną liczbą, która spełnia to równanie, jest x2=83=2. Ostatecznie otrzymaliśmy dwa rozwiązania x1=1 oraz x2=2 rozwiązywanego równania.

iJ9nWPn9aj_d5e270
A
Ćwiczenie 1
Rdz7TS49llCBu1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2
R1RBjh1RMD0xt1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3
R17RbxBbYXL8N1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4
R7smXz11jXx4w1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 5

Dane są wielomiany Wx=x-3(x+1), Vx=x-3(x-1). Wtedy równanie WxVx=0 ma

RikweERHUnMj5
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Liczby x1, x2, x3 są rozwiązaniami równania x+1x+2x+3=0. Jeżeli x1<x2<x3, to

RLrdyQt44tdG1
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Wybierz równanie, które ma dwa różne rozwiązania całkowite.

RHLeHIqyZkKVY
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Liczby -13 są jedynymi rozwiązaniami równania

R3rDz3w4ZSWvU
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Równanie x5-9=9x3-x2 ma dokładnie

R1GwVerFDp4iW
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Wielomian Wx=xx-1x-3-(3-x) można zapisać w postaci

Rsqib0tTpF5Zh
static
iJ9nWPn9aj_d5e587
classicmobile
Ćwiczenie 11

Równanie 3x4-x2=0 można zapisać w postaci równoważnej

RKWXKhSsDWgGu
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Równanie -4x4-6x3+18x2=0 można zapisać w postaci równoważnej

R6BplQzRidKp2
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Liczba wszystkich rozwiązań równania x22x2-7x2+16=0 jest równa

RKsog0GqHYmNv
static
A
Ćwiczenie 14

Rozwiąż równanie.

  1. 2x3-432=0

  2. 5x32+160=0

A
Ćwiczenie 15

Rozwiąż równanie.

  1. 3x4-48=0

  2. x6-27=0

  3. 5x8+20=0

A
Ćwiczenie 16

Rozwiąż równanie.

  1. 7x2x+323x-1=0

  2. 4x2+4x+1x2+10=0

  3. 16x2-925x4-1=0

iJ9nWPn9aj_d5e883
A
Ćwiczenie 17

Oblicz taką wartość m, dla której równanie x-33x+m=0 ma tylko jedno rozwiązanie.

A
Ćwiczenie 18

Ile rozwiązań ma równanie x4-16x2+3x-10=0?

A
Ćwiczenie 19

Rozwiąż równanie.

  1. x4-8x3+16x2=0

  2. 2x3-x2-x=0 

  3. x4-5x3+7x2=0

A
Ćwiczenie 20

Rozwiąż równanie.

  1. x3+2x2-x-2=0

  2. x4+6x3+x2+6x=0

  3. 3x3+4x2-6x-8=0

  4. x3-3x2-4x+12=0

A
Ćwiczenie 21

Uzasadnij, że iloczyn pierwiastków równania x3+2x2-9x-18=0 jest dodatni.

A
Ćwiczenie 22

Uzasadnij, że suma rozwiązań równania x50+x2=50x48+50 jest liczbą całkowitą.

A
Ćwiczenie 23

Przez jaki wielomian trzeba pomnożyć wielomian Wx=x2-4, żeby otrzymać wielomian Vx=x5-4x3-2x2+8?

A
Ćwiczenie 24

Udowodnij, że jeżeli liczba 2 jest rozwiązaniem równania x-22x+7-xx2-ax+a=0, to równanie to nie ma więcej rozwiązań.