Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
im3YqbtoOZ_d5e82
A
Ćwiczenie 1

Czy dana prosta jest wykresem funkcji?

Rfv482x1avtYN1
Animacja pokazuje układ współrzędnych, w którym poprowadzona jest prosta. Należy dla różnego położenia prostej określić, czy jest ona wykresem funkcji. Jeżeli tak, to należy podać wzór funkcji. Z animacji widać, że nie każda prosta w układzie współrzędnych jest wykresem funkcji. Istnieją takie proste (prostopadłe do osi OX), które nie są wykresem funkcji.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Już wiesz

W klasie pierwszej, w  rozdziale poświęconym funkcji liniowej dowiedzieliśmy się, że:

  • prosta prostopadła do osi Ox nie jest wykresem funkcji  fx=ax+b

  • jeżeli na wykresie funkcji liniowej leżą dwa różne punkty A=(xA,yA) B=(xB,yB), (gdzie xAxB), to współczynnik kierunkowy prostej, będącej wykresem funkcji jest równy

a=yA-yBxA-xB

natomiast wyraz wolny jest równy

b=yA-axA
  • każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez punkt A=(xA,yA) ma równanie y=ax+(yA-axA), co zapisujemy w postaci

y=ax-xA+yA
  • każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez dwa różne punkty A=(xA,yA)B=(xB,yB) ma równanie

y=yA-yBxA-xBx-xA+yA.
classicmobile
Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

RY2ZvEIxB3r1o
A
Ćwiczenie 3

Dopasuj równanie prostej do odpowiedniego rysunku.

  1. y=3

  2. y=12x

  3. y=-1

  4. y=-13x+103

  5. y=3x+2

  6. y=-15x

  7. R9PGscu9cvhrj1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  8. R1RJbGxP5v9Lc1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  9. R11rjdoe5Mlqs1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  10. R47q0tsZDQfl21
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  11. R48Z3k9iHgMmH1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  12. R6dkoVvkojc5e1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

im3YqbtoOZ_d5e287
A
Ćwiczenie 4
R1bbDEvYbrEvA1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 5

Punkt M=(1,-4) leży na prostej o równaniu

RsYBt9K7sJ1VF
static
Przykład 1

Zapisujemy równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(4,2)B=(-3,1).
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy

a=yA-yBxA-xB=2-14+3=17

Równanie prostej możemy zapisać w postaci

y=17x+b

Współczynnik b obliczymy, wstawiając do równania współrzędne dowolnego punktu należącego do tej prostej, np. A=(4,2)

2=174+b,

więc b=107. Wynika z tego, że równanie prostej przechodzącej przez punkty AB ma postać

y=17x+107.
RKxG50GaRsaHC1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że mnożąc obie strony równania prostej przez 7, otrzymamy inną postać tego równania:

7y=x+10.

Po uporządkowaniu możemy zapisać

x-7y+10=0.

Jest to równanie tej samej prostej przechodzącej przez punkty AB zapisane w postaci ogólnej.

Równanie ogólne prostej
Definicja: Równanie ogólne prostej

Równanie Ax+By+C=0, gdzie A, BC są liczbami rzeczywistymi oraz AB nie są jednocześnie równe zero, nazywamy równaniem ogólnym prostej.

RxbCMyEPdZf7q1
Animacja
R144bb7CE9jwY1
Animacja
im3YqbtoOZ_d5e435
Przykład 2

Wyznacz równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty  A = xA,yA i B = xB, yB,  gdzie xAxB. Zauważmy, że korzystając ze wzoru

y=yA-yBxA-xBx-xA+yA

otrzymamy postać kierunkową prostej.
Możemy jednak przekształcić wzór tak, aby można było otrzymać również postać ogólną prostej.
Od obu stron równania odejmiemy wyrażenie

yA-yBxA-xBx-xA+yA
y-yA-yA-yBxA-xBx-xA=0

Mnożymy obie strony przez

xA-xB(xA-xB0)
 (y-yA)(xA-xB)-(yA-yB)x-xA=0

Zauważmy, że jeżeli xA=xB, to otrzymany wzór opisuje prostą równoległą do osi Oy, przechodzącą przez punkty AB. Ponieważ   xA,yA  xB, yBxA=xB, to yAyB. Wówczas mamy

y-yA0-yA-yBx-xA=0/:yA-yB
x-xA=0
x=xA
Zapamiętaj!

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty = xA,yA= xB, yB ma postać

(y-yA)(xA-xB)-(yA-yB)x-xA=0
Przykład 3
  • Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty =( -3, 4)=( 2,-1).

Po podstawieniu współrzędnych punktów AB do wzoru

(y-yA)(xA-xB)-(yA-yB)x-xA=0

otrzymamy x-(-3)

(y-4)(-3-2)-4-(-1)x-(-3)=0
-5y-4-5x+3=0
-5y+20-5x-15=0

Po uporządkowaniu

-5x-5y+5=0/:(-5)
x+y-1=0
RYKEvwAHEoc6f1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty =( 5, 2)=( 5,-3).

Po podstawieniu współrzędnych punktów AB do wzoru

(y-yA)(xA-xB)-(yA-yB)x-xA=0

otrzymamy

(y-2)(5-5)-(2+3)x-5=0
0y-2-5x-5=0

Po uporządkowaniu otrzymaliśmy równanie prostej w postaci ogólnej

x-5=0.
RaqhJuroezYu01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to prosta prostopadła do osi Ox. Tej prostej nie można opisać równaniem w postaci kierunkowej, ponieważ nie jest ona wykresem funkcji liniowej.
Uwaga.
Równanie tej prostej wyznaczymy szybciej, jeśli zauważymy, że pierwsze współrzędne obu punktów są jednakowe i równe 5, a drugie są różne. Oznacza to, że równanie prostej przechodzącej przez te punkty ma postać x=5, czyli x-5=0.

A
Ćwiczenie 6
R1J4IvZPgTYob1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 4

Narysuj prostą o równaniu ogólnym 3x-y+2=0.
Narysowanie tej prostej będzie łatwiejsze, jeśli zapiszemy ją w postaci kierunkowej: y=3x+2.
Z własności funkcji liniowej pamiętamy, że wykres funkcji y=3x+2  przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,2), a współczynnik kierunkowy jest równy 3.

R1UUKm8BgFyrT1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 7

Prosta o równaniu -2x+5y-10=0

RnuXmEdmfobMo
im3YqbtoOZ_d5e636
A
Ćwiczenie 8
R1Gy9ZLJuIhLT1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 9

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A=(30,20)B=(40,80) jest równy

RwiyhEpW567iv
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Punkty M=(3,2)i N=(-3,2) leżą na prostej o równaniu

RcY52SMvLeFlE
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Równanie prostej -2x+4y-6=0 można zapisać w postaci

RllgmLRREtRhw
static
im3YqbtoOZ_d5e822
classicmobile
Ćwiczenie 12

Punkt M=(-2,2) leży na prostej o równaniu 3x+By+10=0. Wynika z tego, że

R1H0qtxJ6C2pa
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Punkt  K=(m+1,1) leży na prostej o równaniu -20x+33y+127=0. Wynika z tego, że

RtVlHKqGOFKyJ
static
classicmobile
Ćwiczenie 14

Prosta m ma równanie y=-23x+2. Wskaż równanie, które nie jest równaniem prostej m.

R1bhan9L1wnhE
static
classicmobile
Ćwiczenie 15

Punkty A=(-1,2) , B=(3,4), C=(-1,7)D=(-5,4) są wierzchołkami czworokąta ABCD. Przekątne ACBD przecinają się w punkcie o współrzędnych

R128R9gFjqzRj
static
classicmobile
Ćwiczenie 16

Dany jest punkt A=(2,-1) oraz prosta k o równaniu y=3x-4. Na prostej k leży taki punkt B, że prosta AB jest prostopadła do osi Ox układu współrzędnych. Współrzędne punktu B są równe

R6vSlEOdWA20k
static
classicmobile
Ćwiczenie 17

Punkty A=(0,0), B=(0,150), C=(50,50) są wierzchołkami trójkąta ABC. Boki ACBC są zawarte w prostych o  równaniach

R1GYdA1P3debo
static
classicmobile
Ćwiczenie 18

Punkty A=(-1,2), B=(3,4), C=(-1,7)D=(-5,4) są wierzchołkami czworokąta ABCD. Przekątne ACBD zawierają się w prostych o równaniach

RLvFiYO6hihhU
static
A
Ćwiczenie 19

Wyznacz równanie prostej w postaci ogólnej, która przechodzi przez punkty

  1. A=(0,0)B=(-4,1)

  2. A=(2,4)B=(-2,-3)

  3. A=(-5,2)B=(-5,-6)

  4. A=(124,48)B=(-124,-48)

  5. A=(3,33)B=(53,43)

A
Ćwiczenie 20

Wyznacz współrzędne punktu M, w którym przecinają się proste o równaniach

  1. m:-2x+5y-12=0k:x+3y-5=0

  2. m:-2x+3y+1=0k:x-5=0

  3. m:-x+3y-6=0k:2x+y-2=0

  4. m:x+4y+23=0k:3x-2y-1=0

A
Ćwiczenie 21

Boki trójkąta ABC zawierają się w prostych AC, ABBC. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta, jeśli

  1. AB: y+4=0, AC:5x+3y-8=0 oraz BC: x-y=0

  2. AB: x+y+2=0, AC: -3x+2y+9=0 oraz BC: -x+9y-22=0

  3. AB: -x+2y-10=0, AC: x-4=0 oraz BC: y-3=0

A
Ćwiczenie 22

Wyznacz równania przekątnych czworokąta o wierzchołkach w punktach: A=(-4,-2), B=(5,-5), C=(4,2)D=(-2,4). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta ABCD.

A
Ćwiczenie 23

Wyznacz wszystkie wartości m, tak aby prosta

  1. 3x-m-1y+3=0 przechodziła przez punkt K=(-5,4)

  2. 3m+3x+m+4y+5=0 była prostopadła do osi Ox

  3. m2-25x-2m-2y-1 =0 była prostopadła do osi Oy

A
Ćwiczenie 24

Uzasadnij, że nie istnieje wartość m, dla której prosta m2-9x+m-3y+m+3=0 jest prostopadła do osi Ox.