Aktualności

Kształcenie na odległość

Programy nauczania i scenariusze zajęć do kształcenia ogólnego

Epodręczniki PO KL

Katalog Zasobów Dodatkowych

Wsparcie psychologiczno-pedagogiczne

Gra edukacyjna „Godność, wolność i niepodległość”


Wsparcie użytkownika

Filmy instruktażowe i instrukcje

Poradnik dla użytkownika

Najczęściej zadawane pytania wraz z odpowiedziami

Filmy instruktażowe i instrukcje
Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb w miejsce liter i wykonaniu wskazanych działań.
W przypadku równań także można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych. Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.

Przykład 1
R1ZGzQA5pGYGN1
Animacja
Liczba spełniająca dane równanie
Definicja: Liczba spełniająca dane równanie

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.

Rozwiązanie równania
Definicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.

Równania równoważne
Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Przykład 2
RupkdiwdEiADH1
Animacja
Zapamiętaj!

Rozwiązać równanie – to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. W tym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając o tym, że

  • do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,

  • obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład 3
R1c9pRjO0d98i1
Animacja
Przykład 4
R4Hvdj1eDHbUV1
Animacja
Zapamiętaj!

Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia z przeciwnym znakiem na drugą stronę równania.
Np. aby rozwiązać równanie: 2x-5=x+1, przenosimy z przeciwnym znakiem

  • x na lewą stronę równania

2x-x-5=1
  • -5 na prawą stronę równania

2x-x=1+5
x=6

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba 6.

RJ89HTmugtbOP1
Animacja pokazuje kolejne kroki rozwiązania trzech równań. Równanie 2x +8 =0 jest oznaczone, jego rozwiązaniem jest punkt leżący na osi liczbowej x =-4. Równanie 2x +8 =2x +6 jest sprzeczne, nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Równanie 2x +8 =2x +8 jest tożsamościowe, jego rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązania opisanych równań zaznaczono na osi liczbowej.
i6rXaDAENV_d5e553

Równanie z jedną niewiadomą

Równania z jedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Zbiór rozwiązań równania
Definicja: Zbiór rozwiązań równania

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Przykład 5

Rozwiąż równania

  • x2=25
    Rozwiązanie: x=5,x=-5

  • x3=0 
    Rozwiązanie: x=0

  • x2=-4
    Rozwiązanie: brak rozwiązania

Przykład 6

Znajdź pierwiastek rozwiązania.

  • 2a+b=5
    Pierwiastek rozwiązania: np.: a=1, b=3

  • x2+y2=0
    Pierwiastek rozwiązania: a=0, b=0

Przykład 7
  • Równania, które nie mają rozwiązania:

x+2=x, x2=-25

  • Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:

2x-2x+2x=2x, 0x=0

Równanie sprzeczne
Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznym.

Równanie tożsamościowe
Definicja: Równanie tożsamościowe

Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą nazywamy równaniem tożsamościowym.

Ważne!

Liczba rozwiązań równania.
Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może:

  • nie mieć rozwiązania,

  • mieć dokładnie jedno rozwiązanie,

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

i6rXaDAENV_d5e843
A
Ćwiczenie 1
RqYHozV72SiRA1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 2

Liczbą spełniającą równanie 2x-1+2=4x+14 jest

RmbIWTF3hm1QW
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Liczbą spełniającą równanie xx+1x2+1=3x2+1 jest

R14zaTWS9uYVe
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Sprawdź, czy podana liczba jest rozwiązaniem danego równania.

R1GNYc6uxBdIY
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Sprawdź, które równania są spełnione przez liczbę -23.

Ru7SxUQIGOmf1
static
A
Ćwiczenie 6
R1C4TgGioRgZN1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1E2MAulNkcri
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Które z podanych równań jest sprzeczne?

R1JRrmZivI4aJ
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Które z podanych równań jest sprzeczne?

R1Moj9BPmaoek
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Które z podanych równań są tożsamościowe?

RcejPGdhMxvFr
static
i6rXaDAENV_d5e1404
A
Ćwiczenie 11
R138XECs9A5CZ1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 12
RmtgHmIR61xht1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 13
RqSzjXIaKXNOi1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 14

Wstaw takie wyrażenie algebraiczne w miejsce , aby równanie 3x-1=x+

  1. miało jedno rozwiązanie

  2. nie miało rozwiązania

  3. miało nieskończenie wiele rozwiązań

C
Ćwiczenie 15

Podaj wszystkie liczby, które spełniają równanie.

  1. a3=-8

  2. z2=100

  3. x3=64

  4. x2x-3=0

  5. x2-9x2-25=0

  6. x2x-4x+5=0

  7. y3-1y3-27=0

B
Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że równanie x=x nie jest równaniem tożsamościowym. Ile rozwiązań ma to równanie?

Zgłoś problem