Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj
RphFyjKJ3KDgK1
Animacja
Przykład 1

Metoda podstawiania jest łatwiejsza do stosowania, jeżeli przynajmniej w jednym z równań układu, przed jedną z niewiadomych, znajduje się współczynnik liczbowy 1.
Rozwiążemy teraz układ równań, w którym żaden ze współczynników liczbowych występujących przed niewiadomymi nie jest równy 1.

2x+3y=54x-2y=26
RQsVzDMSstDXz1
Animacja
Przykład 2

Rozwiążemy układ równań -2x+4y=4x-2y= 3 metodą podstawiania.
Wyznaczymy niewiadomą x z drugiego równania układu i podstawimy otrzymane wyrażenie zamiast x do pierwszego równania układu.

x=2y+3-22y+3+4y=4

Następnie rozwiążemy drugie równanie, przepisując pierwsze bez zmian.

x=2y+3-4y-6+4y=4
x=2y+3-4y+4y=4+6
x=2y+30y=100=10

Drugie z równań układu okazało się równaniem sprzecznym, a więc układ równań jest układem sprzecznym.

Zapamiętaj!

Jeżeli, rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy wyrażenie algebraiczne z drugiego równania, okaże się równaniem sprzecznym, to taki układ jest układem sprzecznym.

Przykład 3

Rozwiążemy układ równań -4x+6y=82x-3y= -4  metodą podstawiania.
Wyznaczymy niewiadomą x z drugiego równania układu i podstawimy otrzymane wyrażenie zamiast x do pierwszego równania układu.

2x= 3y-4  |:2-4x+6y=8
x=1,5 y-2-41,5y-2+6y=8

Następnie rozwiążemy drugie równanie, przepisując pierwsze bez zmian.

x=1,5y-2-6y+8+6y=8 
x=1,5y-2-6y+6y=8-8
x=1,5y-20y=00=0

Drugie z równań układu okazało się równaniem tożsamościowym, czyli takim, którego zbiór rozwiązań tworzą wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązywany układ równań jest zatem układem nieoznaczonym, czyli takim, który ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zapamiętaj!

Jeżeli, rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy wyrażenie wyznaczone z drugiego równania, okaże się równaniem tożsamościowym, to układ równań ma nieskończenie wiele par liczb spełniających to równanie, czyli jest układem nieoznaczonym.

iUCvaI5q8N_d5e311
A
Ćwiczenie 1

Podany jest układ równań. Uporządkuj poniższe układy, tak aby utworzyły kolejne etapy rozwiązania danego układu równań metodą podstawiania.
x+2y=42x+2y=6

  1. x=4-2y8-4y+2y=6

  2. x=4-2yy=1

  3. x=4-2y2x+2y=6 

  4. x=4-2y-2y= -2

  5. x=4-2y24-2y+2y=6

  6. x=2y=1

  7. x=4-21y=1

A
Ćwiczenie 2

Podany jest układ równań. Uporządkuj podane poniżej układy, tak aby utworzyły kolejne etapy rozwiązania danego układu równań metodą podstawiania.
-3x+y=85x+3y=10

  1. y=8+3x14x= -14

  2. y=8+3x5x+38+3x=10

  3. x= -1 y=8+3x

  4. x= -1y=8+3(-1) 

  5. x= -1y=5

  6. y=8+3x5x+24+9x=10

  7. y= 8+3x5x+3y=10

classicmobile
Ćwiczenie 3

Wyznaczając x z pierwszego równania układu 5x+7y=122x-5y=8, otrzymamy wyrażenie:

RldemvZUYqbgu
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Wyznaczając y z drugiego równania układu 3x-2y=6x+4y=10, otrzymamy wyrażenie

R1EemMxeFr7QI
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Po wyznaczeniu niewiadomej x z pierwszego równania układu -2x+5y=12x-4y=5 i  podstawieniu otrzymanego wyrażenia w miejsce niewiadomej x do drugiego równania i jego uproszczeniu otrzymamy

R1AAcbwMe3gYo
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Po wyznaczeniu niewiadomej y z drugiego równania układu 3x-4y=6x-2y=7 i  podstawieniu otrzymanego wyrażenia w miejsce niewiadomej y do pierwszego równania i jego uproszczeniu otrzymamy

R1H8YSRNmOZfD
static
iUCvaI5q8N_d5e591
A
Ćwiczenie 7
R1Z6bNDxCnWHm1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 8
R1AYPmF0dSE241
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 9
R1RE4B1Udumfr1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 10
R1WtApHRiF9l61
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 11

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymujemy równanie 3 2 = 3+ 1. Oznacza to, że układ jest

RKmyU8oDJXB0F
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymujemy równanie -2x+3=2x+3. Oznacza to, że układ jest

Rudp0BAmXVBVR
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymujemy równanie - 3 + 2= 2 x - 1. Oznacza to, że układ jest

R1Vn3fQRfSaVv
static
iUCvaI5q8N_d5e747
classicmobile
Ćwiczenie 14

Rozwiązaniem układu równań -3x+4y=5x-2y=3 jest para liczb

RlmitrrANoeGH
static
classicmobile
Ćwiczenie 15

Rozwiązując układ równań 3x-y=52x-3y=7 metodą podstawiania, otrzymamy układ postaci

R1AANVl4mkDL3
static
classicmobile
Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1UKh1sdlqzKv
static
A
Ćwiczenie 17

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania.

  1. x=2y+3x+3y=8

  2. y=x-42x-y=7

  3. x=2-3yx-y=10

  4.  y= -2x+3x-2y=5

  5. x=y-3x-y=4

  6. x=3y-52x+3y=4

A
Ćwiczenie 18

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania.

  1. x +2y=103x+4y=6

  2. 4x-y=2x-2y=4

  3. -3x+2y=8-2x+y=5

  4. -4x+8y=102x-4y= -5

  5. -x-2y=44x+2y=8

  6. x+5y=22x-y=4

A
Ćwiczenie 19

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania.

  1. 2x-4y=103x+2y=7

  2. 3x-2y=62x-3y=8

  3. -4x+5y=122x+4y=0,5

  4. -2y+5x=10- 5x+2y=6

  5. -3x+10y=5x-5y= -1