Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Rozwinięcia dziesiętne ułamka zwykłego można wyznaczać dwoma sposobami.

Przykład 1

Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków 128400.

12=1525=510=0,5
8400=8 :4400 :4=2100=0,02
Przykład 2

Wykonaj wskazane dzielenia, używając kalkulatora.
8 : 5  
23 : 4  
8 : 20  
9 : 300  
6 : 125  
Odpowiedź: 1,6; 5,75; 0,4; 0,03; 0,048

85=1,6
  • Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku 85, jest liczba 5.

234=5,75
  • Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku 234, jest liczba 2.

820=25
  • Jedynym dzielnikiem mianownika 25, będącym liczbą pierwszą w ułamku 25, jest liczba 5.

9300=3100=32255
  • Jedynymi dzielnikami mianownika, będącymi liczbami pierwszymi w ułamku 3100, są liczby 25.

6125=6555
  • Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku 6125, jest liczba 5.

Zapamiętaj!

Jeżeli jedynymi dzielnikami mianownika ułamka nieskracalnego są liczby 2 lub 5, to ten ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone.

Rozważmy teraz takie ułamki, w których w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika występują jeszcze inne liczby niż 2 i 5.

Przykład 3
R1G7jTFkzvuZS1
Animacja
Zapamiętaj!
  • Jeżeli mianownik ułamka zwykłego jest podzielny przez liczbę pierwszą różną od 25, to ten ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.

  • Powtarzający się układ cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym ułamka nazywamy jego okresem. Aby uprościć zapis takiego rozwinięcia, okres zapisujemy w nawiasie.

Rozwinięcie ułamka zwykłego
Własność: Rozwinięcie ułamka zwykłego

Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.

Ciekawostka

Istnieją liczby, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe.
Na przykład

  • 2,30300300030000300000

  • 0,123456789101112131415

Powyższych liczb nie można zapisać w postaci ułamków zwykłych.

iuBj2NX2ko_d5e991
C
Ćwiczenie 1

Liczby 0,123456789101112131415 nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego. Podaj inny przykład liczby, której nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

A
Ćwiczenie 2

Wyznacz rozwinięcia dziesiętne podanych liczb.

  1. 34,445,158,3320,3116,2745

  2. 13,156,27,49,559,2611,3712 

A
Ćwiczenie 3
R15FCrfGZQfkY1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4

Uporządkuj podane liczby rosnąco.

  1. 0,06

  2. 0,00(60)

  3. 0,(606)

  4. 0,(60)

  5. 0,00(6)

A
Ćwiczenie 5

Uporządkuj podane liczby malejąco.

  1. 25

  2. 0,4(16)

  3. 512

  4. 0,416

  5. 0,4166

classicmobile
Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1JKmQDqS3Pn5
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RT4eJrmODsNAJ
Możliwe odpowiedzi: 1. Ułamek 716 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe., 2. Ułamek 813 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe., 3. Ułamek 2234 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone., 4. Ułamek 1638 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.
static
iuBj2NX2ko_d5e1207
classicmobile
Ćwiczenie 8

Dwudziesta cyfra po przecinku liczby 4,32(7451) jest równa

RDB2ALN7NZMzo
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Która z podanych liczb jest największa?

RTKJvPTOE3Oos
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Rozwinięcie dziesiętne ułamka 4125 jest równe

RzXVDnH52tLIh
static
A
Ćwiczenie 11

W miejsce kropek wstaw liczbę, która spełnia podany warunek

  1. 0,3<<13

  2. 0,33<<13

  3. 0,2<<13

  4. 3,(7)<<3,(8)

  5. 8,031<<8,0(31)

  6. 1,53<<1,53(54)

A
Ćwiczenie 12

Wstaw w miejsce kropek taką liczbę naturalną, aby spełniony był podany warunek

  1. 3,34< 3,

  2. 6>0,(3)

  3. 8<0,73

  4. 2,97< 2,9

B
Ćwiczenie 13

Korzystając z kalkulatora, wyznacz rozwinięcia dziesiętne podanych ułamków zwykłych

  1. 19, 29, 49, 59, 89

  2. 199, 599, 1799, 2099, 3299, 4099, 5599, 6199, 8499, 9799

  3. 1999, 11999, 111999, 243999, 454999, 541999,602999, 700999, 777999, 997999

  4. Czy zauważasz zależność? Jak sądzisz, jakie rozwinięcia dziesiętne będą miały następujące liczby 1119999, 54549999, 6767699999 ?

A
Ćwiczenie 14

Korzystając z powyższej zależności, podaj ułamki zwykłe, które są równe poniższym liczbom.

  1. 0,2 

  2. 0,7

  3. 0,08

  4. 0,25

  5. 0,67

  6. 0,243

  7. 0,500

  8. 0,687

  9. 0,2034

  10. 0,(787890)