Zgłoś uwagi
Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Ruch jednostajny po okręgu od wieków uważano za najdoskonalszą formę ruchu. Arystoteles sądził, że okrąg jest figurą doskonałą, a natura ruchu po okręgu – boska. Dzisiaj nikt chyba tak nie myśli. Ta lekcja pozwoli Ci zrozumieć prawdziwą naturę ruchu, która wyłania się z praw fizyki.

Źródło: Juanedc, Flickr, CC BY https://www.flickr.com/photos/juanedc/8415640343/sizes/o/, licencja: CC BY 3.0. Klasycznym przykładem ruchu po okręgu jest karuzela łańcuchowa. Parametry ruchu obrotowego krzesełka z jego pasażerem będą się zmieniać, ale sam pasażer siedzący w krzesełku zawsze będzie krążył po okregu.
Już potrafisz
  • obliczać obwód okręgu o promieniu r (obwód = 2πr);

  • obliczać prędkość ciała ze wzoru v=st i wyrażać ją w różnych jednostkach;

  • opisać ruch jednostajny prostoliniowy jako taki, w którym prędkość jest stała, a torem jest linia prosta.

Nauczysz się
  • podawać znaczenie pojęć: „prędkość liniowa”, „okres obiegu” i „częstotliwość obiegu”;

  • obliczać wartości tych wielkości;

  • opisywać ruch jednostajny po okręgu jako ruch, w którym prędkość jest stała, torem jest okrąg, a kierunek prędkości zmienia się w czasie.

1. Ruch jednostajny po okręgu

Na lekcjach fizyki w gimnazjum omówione zostały szczegółowo zagadnienia dotyczące ruchu jednostajnego prostoliniowego i jednostajnie przyspieszonego. Tory, po których poruszają się ciała, mogą być jednak w rzeczywistości znacznie bardziej złożone. Gdy jedziemy autobusem do szkoły, poruszamy się po linii krzywej, której poszczególne odcinki są zwykle łukami zakrętów, prostymi i – jak dzieje się podczas pokonywania ronda – okręgami.

Źródło: Krzysztof Jaworski , licencja: CC BY 3.0. Torem ruchu samochodu poruszającego się po rondzie jest okrąg

Podobnie poruszają się poszczególne punkty obracających się ciał: Ziemi, bębna w pralce, wskazówek zegara, kół samochodu podczas jazdy. O ruchu obrotowym będziecie się uczyć w części rozszerzonej. Dobrym przykładem ruchu ciał po okręgu jest ruch krzesełka karuzeli czy ruch niektórych ciał niebieskich. Po okręgach poruszają się tzw. satelity stacjonarne.
Ruch punktu po okręgu charakteryzują pewne wielkości fizyczne, tj. okres, częstotliwośćprędkość.

okres (T)

– czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego obiegu po okręgu; jednostką okresu jest sekunda (s).

częstotliwość (f)

– liczba obiegów po okręgu wykonanych w czasie 1 sekundy; jednostką częstotliwości jest herc (Hz).

herc (Hz)

– jednostka miary częstotliwości w układzie SI; 1 Hz=11 s=1 s-1.

Zapamiętaj!

Częstotliwość poruszającego się ciała wynosi 1 Hz, jeśli w czasie jednej sekundy wykonuje ono jeden obieg po okręgu.

Nazwa jednostki częstotliwości pochodzi od nazwiska odkrywcy fal elektromagnetycznych – Heinricha Hertza.

Przykład 1

Koło samochodu o średnicy ok. 40 cm wykonuje 960 obrotów na minutę. Oblicz okres i częstotliwość ruchu okrężnego, jaki wykonuje liść przyklejony do opony.
Dane:
n=960 
t=1 min=60 s

Szukane:
T= ? 
f= ?

Wzory:
T=tn 
f=nt 
Obliczenia:

T=60 s960=116s=0,0625 s

f=96060 s=16 Hz

Odpowiedź:
Czas jednego obiegu, jaki liść wykonuje wraz z obracającym się kołem samochodu (okres obiegu) wynosi 0,0625 s. Liść wykonuje 16 obiegów w ciągu jednej sekundy.

Zwróć uwagę, że otrzymane wyniki można zapisać jako liczby odwrotne. Mówimy, że częstotliwość jest odwrotnością okresu.
f=1T

Ćwiczenie 1

W ruchu jednostajnym prostoliniowym ciało porusza się ze stałą prędkością, a jej punkt przyłożenia, kierunek, zwrot i wartość nie ulegają zmianie. Czy prędkość, rozumiana jako wielkość wektorowa, będzie się zmieniać, jeśli torem ruchu stanie się okrąg, a wartość prędkości będzie stała?

Uruchom symulację.

Prędkość w ruchu po okręgu

Za pomocą myszki umieść żeton na obracającej się płycie. Następnie naciśnij przycisk: „Pokaż wektor prędkości” i obserwuj jego zachowanie. Zmień położenie żetonu. Ponownie wybierz opcję „Pokaż wektor prędkości”. Czynność powtórz trzykrotnie. Możesz także zmienić prędkość wirowania płyty za pomocą suwaka i ponownie przyjrzeć się wektorowi prędkości żetonu.

Ćwiczenie 2.1

Prędkość, którą rozważaliśmy, jest nazywana prędkością liniową.

prędkość liniowa

– prędkość styczna do okręgu w każdym punkcie; jej kierunek i zwrot się zmieniają.

Wróćmy do ruchu jednostajnego prostoliniowego. Jeśli chcemy obliczyć wartość prędkości w tym ruchu, wystarczy, że podzielimy przebytą drogę przez czas trwania ruchu:

v=st

W ruchu jednostajnym po okręgu o promieniu r przebyta droga podczas jednego obiegu jest równa obwodowi tego okręgu, czyli:

s=2πr

Jeśli uwzględnimy wzór na prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym, obwód okręgu i okres obiegu, to otrzymamy wzór na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu:

v=2πrT
gdzie:
vms – prędkość liniowa;
r[m] – promień okręgu;
T[s] – okres.

Prędkość liniowa jest wprost proporcjonalna do promienia okręgu i odwrotnie proporcjonalna do okresu. Gdy dana jest częstotliwość f, to wzór na prędkość liniową przyjmuje postać:

v=2πrf
Ciekawostka

Do opisu ruchu po okręgu fizycy posługują się jeszcze prędkością kątową. Podczas obiegu ciała po okręgu ciało i środek okręgu są połączone odcinkiem. Zakreśla on pewien kąt α. W czasie pełnego okresu (T) zakreślany jest kąt 360°. Jeśli wybierzemy dowolny przedział czasu t, to prędkość kątowa jest stosunkiem zakreślonego kąta (α) do czasu, w którym ten kąt został zakreślony:

Źródło: Krzysztof Jaworski, licencja: CC BY 3.0. Prędkość kątowa to stosunek kąta α zakreślonego przez promień wodzący do czasu, w którym został zakreślony
ω=αt

gdzie:
ω – prędkość kątowa;
α – zakreślony kąt;
t – czas.

Przykład 2

Bęben pralki mający promień 25 cm wykonuje 1200 obrotów na minutę.

  1. Oblicz okres obrotu i częstotliwość obrotów bębna.

  2. Oblicz wartość prędkości liniowej dla punktu położonego w odległości 25 cm od osi obrotu bębna.

Rozwiązanie:

  1. Bęben wykonuje 1200 obrotów w czasie 1 minuty, czyli 60 sekund. Ile obrotów wykona w czasie 1 sekundy? Ile będzie wynosił czas jednego obrotu (okres)?

1200:60=20obrotóws, co oznacza, że f=20 Hz. Skoro T=1f, to =120s,czyli 0,05 s

  1. Prędkość liniowa będzie równa v=2πrT lub v=2πrf. Jeśli skorzystamy z drugiego wzoru, otrzymamy:
    v=2π·0,25 m·20 Hz=2·3,14·0,25·20ms=31,4ms

Odpowiedź:

  1. Częstotliwość obrotów wynosi 20 Hz, a okres jednego obrotu to 0,05 s.

  2. Punkt położony w odległości 25 cm od osi bębna porusza się z prędkością 31,4ms.

Przykład 3

Dziecko siedzące na krzesełku karuzeli wykonuje 15 obiegów na minutę, przy czym porusza się po okręgu o promieniu 4 m. Oblicz wartość prędkości liniowej, z jaką porusza się dziecko.
Rozwiązanie:
Prędkość liniową można obliczyć ze wzoru: v=2πrf lub v=2πrT. Ponieważ znamy wartość promienia okręgu, to musimy jedynie obliczyć okres obiegu lub częstotliwość.

Jeżeli krzesełko z dzieckiem wykonuje 15 obiegów w czasie 60 sekund, to czas jednego obiegu wynosi T=60 s15, czyli 4 s. Wartość prędkości liniowej wynosi zaś: v=2πrT=2·π·4 m4 s=6,28ms.

Jeśli chcemy skorzystać z zależności v=2πrf, musimy obliczyć najpierw częstotliwość. Wprawdzie jest ona podana, ale nie w czasie 1 sekundy, lecz 1 minuty. Ponieważ minuta ma 60 sekund, w ciągu 1 sekundy krzesełko wykona: f=15min=1560 s=14·1s, czyli 14 obiegu; f=14Hz.
Resztę obliczeń wykonaj samodzielnie.

Ćwiczenie 3
Ćwiczenie 4

Podsumowanie

  • Do opisu ruchu po okręgu posługujemy się pojęciami „okres obiegu” i „częstotliwość”. Okresem (T) nazywamy czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego obiegu po okręgu. Częstotliwością (f) nazywamy liczbę pełnych obiegów wykonywanych w czasie 1 sekundy.

  • W ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości liniowej jest stała, lecz zmieniają się jej kierunek i zwrot. Prędkość liniowa jest styczna do okręgu.

  • Prędkość liniową (v) obliczamy ze wzoru:
    v=2πrT lub v=2πrf.

Praca domowa
Polecenie 1.1

Znajdź, jaką wartość ma promień równikowy (np. w tablicach fizycznych lub geograficznych, bądż też w internecie). Następnie skorzystaj z poznanych wzorów dotyczących ruchu po okręgu i oblicz prędkość liniową na równiku.

Polecenie 1.2

Oblicz prędkość Księżyca na orbicie. Przyjmij, że średnia odległość Księżyca od Ziemi jest równa 385 000 km, a czas obiegu odpowiada miesiącowi gwiazdowemu (patrz: poprzednie lekcje).

Polecenie 1.3

Przypomnij sobie treść trzech zasad dynamiki. Ułatwi ci to zrozumienie następnej lekcji.

Słowniczek

satelita stacjonarny (satelita geostacjonarny)

– sztuczny satelita przebywający na geostacjonarnej orbicie Ziemi; orbita geostacjonarna to orbita kołowa, która pozwala umieszczonym na niej obiektom (zwykle satelitom telekomunikacyjnym) zachować stałe położenie nad wybranym punktem równika Ziemi.

Biogram

Źródło: Krzysztof Jaworski , licencja: CC BY 3.0.

Heinrich Rudolf Hertz

Heinrich Hertz studiował fizykę w Monachium i Berlinie. Po uzyskaniu tytułu doktora był wykładowcą na różnych uczelniach. W Karlsruhe rozpoczął badania nad falami elektromagnetycznymi i skonstruował specjalne urządzenie do ich wzbudzania, tzw. oscylator elektryczny. W 1887 r. udowodnił istnienie fal elektromagnetycznych. Następnie wykazał, że mają one cechy światła – ulegają zjawiskom odbicia, załamania, interferencji (nakładanie się), dyfrakcji (uginanie się) i polaryzacji. Ponadto udowodnił, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła i mogą być przekazywane na odległość. Odkrył zewnętrzny efekt fotoelektryczny. Aby uhonorować Hertza za te odkrycia, jednostkę częstotliwości w układzie SI nazwano hercem (Hz).