Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj
Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Definicja: Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę α. Wprowadzimy nazwy stosunków długości boków tego trójkąta.

R1YPlNgbkD7Kt1
  • Sinusem kąta ostrego α (w skrócie sinα) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej.

  • Cosinusem kąta ostrego α (w skrócie cosα) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do długości przeciwprostokątnej.

  • Tangensem kąta ostrego α (w skrócie tgα) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α.

    R11IrucBqLrHi1
    Animacja prezentuje definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a, b i przeciwprostokątnej c. Kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a. Kąt 90 minus alfa leży naprzeciw przyprostokątnej b. Zmieniając długości boków trójkąta lub miarę kąta alfa, obliczamy zgodnie z definicją sinus, cosinus i tangens kąta alfa i kąta 90 minus alfa.

    Korzystając z oznaczeń na rysunku, zapisujemy

    sinα=ac, cosα=bc, tgα=ab.

    Powyższe zależności nazywa się funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego α.

Przykład 1
Rt2HVcYJpyExY1
Animacja pokazuje jak wyznaczyć wysokość Piramidy Cheopsa. Długość cienia rzucanego przez wierzchołek piramidy to przeciwprostokątna. Wysokość piramidy h i odległość l od spodka wysokości do końca cienia to przyprostokątne. l =404 metry. Kąt alfa między przyprostokątnymi wynosi 19 stopni. Zapisujemy związek między przyprostokątnymi trójkąta. Korzystając z funkcji tangens z tablic trygonometrycznych odczytujemy wartość kąta 19 stopni i obliczamy, że wysokość Piramidy Cheopsa wynosi 139 metrów.
RbhpO5VcRPPpV1
Animacja pokazuje jak wyznaczyć wysokość rampy korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.
Uwaga!

Bezpośrednio z definicji wynika, że dla dowolnego kąta ostrego α

sinα > 0, cosα > 0.

Ponadto, w każdym trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, zatem dla dowolnego kąta ostrego α

sinα < 1, cosα < 1.
 1
Twierdzenie:  1

Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są nierówności:

0 < sinα < 1
0 < cosα <1. 
Uwaga!

Jeżeli jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę α, to drugi kąt ostry w tym trójkącie ma miarę 90°-α. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, zapisujemy

sin90°-α=bc
cos90°-α=ac
tg90°-α=ba.
RItjDAqMUjVnk1
 2
Twierdzenie:  2

Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są równości

cos90°-α=sinα
sin90°-α=cosα
tg90°-α=1tgα.
RLeZWd6JNDGF41
Animacja pokazuje jak obliczyć sinus dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długość a, b i przeciwprostokątnej długość c. Kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a, kąt beta leży naprzeciw przyprostokątnej b. Mierzymy linijką długości przyprostokątnej a i przeciwprostokątnej c trójkąta prostokątnego dla kątów 10 stopni, 20 stopni, 30 stopni, 40 stopni, 50 stopni, 60 stopni, 80 stopni, 90 stopni. Otrzymane liczby wstawiamy do wzoru funkcji sinus i obliczamy wartość funkcji sinus dla danego kąta. Otrzymane wartości tworzą na wykresie fragment funkcji sinus.
R5D4QDCSv842j1
Animacja pokazuje jak obliczyć cosinus dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długość a, b i przeciwprostokątnej długość c. Kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a, kąt beta leży naprzeciw przyprostokątnej b. Mierzymy linijką długości przyprostokątnej b i przeciwprostokątnej c trójkąta prostokątnego dla kątów 10 stopni, 20 stopni, 30 stopni, 40 stopni, 50 stopni, 60 stopni, 80 stopni, 90 stopni. Otrzymane liczby wstawiamy do wzoru funkcji cosinus i obliczamy wartość funkcji cosinus dla danego kąta. Otrzymane wartości tworzą na wykresie fragment funkcji cosinus.
RX43BZNkC0YyM1
Animacja pokazuje jak obliczyć tangens dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długość a, b i przeciwprostokątnej długość c. kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a, kąt beta leży naprzeciw przyprostokątnej b. Mierzymy linijką długości przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego dla kątów 10 stopni, 20 stopni, 30 stopni, 40 stopni, 50 stopni, 60 stopni, 80 stopni, 90 stopni. Wstawiamy otrzymane liczby do wzoru funkcji tangens i obliczamy wartość funkcji tangens dla danego kąta. Otrzymane wartości tworzą na wykresie fragment funkcji tangens.
RpaeW4g72Yrmu1
Animacja pokazuje jak obliczyć sinus dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długość a, b i przeciwprostokątnej długość c. Kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a, kąt beta leży naprzeciw przyprostokątnej b. Mierzymy linijką długości przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego dla kątów 10 stopni, 20 stopni, 30 stopni, 40 stopni, 50 stopni, 60 stopni, 80 stopni, 90 stopni. Wstawiamy otrzymane liczby do wzoru funkcji cotangens i obliczamy wartość funkcji cotangens dla danego kąta. Otrzymane wartości tworzą na wykresie fragment funkcji cotangens.