Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
 4
Twierdzenie:  4

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami.
Przy oznaczeniach takich jak na rysunku

PABC=12absinγ.
R1Gy7Naw9FVQD1
Cechy przystawania trójkątów
Twierdzenie: Cechy przystawania trójkątów

Przystawanie trójkątów ABCDEF wynika z każdej z następujących cech przystawania trójkątów:

  • cecha przystawania bok‑bok‑bok (bbb)

Trójkąty ABCDEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości boków jednego trójkąta są odpowiednio równe długościom boków drugiego trójkąta.

|AB|=|DE|, |AC|=|DF|, |BC|=EF.
Rh59rNAjrG2AE1
  • cecha przystawania bok‑kąt‑bok (bkb)

Trójkąty ABCDEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości dwóch boków i kąt między tymi bokami w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między tymi bokami w drugim trójkącie

|AB|=|DE|, |AC|=|DF|, ∡BAC=∡EDF.
R1DNusYOOPlhg1
  • cecha przystawania kąt‑bok‑kąt (kbk)

Trójkąty ABCDEF są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości boku i miary kątów przyległych do tego boku w jednym trójkącie są odpowiednio równe długości boku i miarom kątów przyległych do tego boku w drugim trójkącie

|AB|=|DE|,  BAC=EDF,  ABC=DEF.
R2eaIS7Kc87VQ1
Działania na pierwiastkach
Twierdzenie: Działania na pierwiastkach

Jeśli b są liczbami nieujemnymi, nm są liczbami naturalnymi większymi od 1, k jest dodatnią liczbą naturalną, to

  • abn=anbn

  • abn=anbn ,  b0

  • ann=a

  • ank=akn

  • amn=anm

Jeśli w powyższym twierdzeniu liczby nm (stopnie pierwiastków) są nieparzyste, to twierdzenie pozostanie prawdziwe również dla ujemnych liczb podpierwiastkowych (a lub b) .

Działania na potęgach
Definicja: Działania na potęgach

Dla dowolnej liczby dodatniej a i dowolnych liczb wymiernych xy prawdziwe są równości

  • axay=ax+y (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)

  • axa =ax-y (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)

  • axy=axy (wzór na potęgę potęgi)

Działania na potęgach 01
Twierdzenie: Działania na potęgach 01
  • Iloczyn potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a0 i dowolnych liczb całkowitych nm prawdziwa jest równość

anam=an+m.
R1WKxrD2CezmO1
  • Iloraz potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a0 i dowolnych liczb całkowitych nm prawdziwa jest równość

ana =an-m.
R1X2ngJpF9lV01
  • Potęga potęgi

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a0 i dowolnych liczb całkowitych nm prawdziwa jest równość

anm=anm.
R1c65xKTWGhCm1
  • Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a0b0 i dowolnej liczby całkowitej n prawdziwa jest równość

anbn=abn.
RSc0RT5yFz1P31
  • Iloraz potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a0b0 i dowolnej liczby całkowitej n prawdziwa jest równość

anbn =abn.
RXdhHaVVnbedK1
Dziedzina
Definicja: Dziedzina

Zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy nazywamy dziedziną funkcji.

Funkcja
Definicja: Funkcja

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y.
Symbolicznie piszemy f:XY. Czytamy „funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y”.

  • Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy – argumentami funkcji f.

  • Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element y zbioru Y, który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi x nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x, co zapisujemy symbolicznie y=f(x). Zbiór Z tych elementów y nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Funkcja malejąca
Definicja: Funkcja malejąca

Funkcja jest określona w przedziale a;b.
Jeżeli dla dowolnych x1,x2a,b takich, że x1<x2 spełniony jest warunek:

fx1>fx2,

to mówimy, że funkcja f jest malejąca w przedziale a,b.

R1JnFIXVvkgJp1
Animacja pokazuje wykres funkcji malejącej.
Funkcja monotoniczna przedziałami
Definicja: Funkcja monotoniczna przedziałami

Jeśli funkcja, której dziedzinę można podzielić na rozłączne przedziały tak, aby w każdym z nich funkcja ta była monotoniczna, to powiemy, że jest ona monotoniczna przedziałami.

Funkcja niemalejąca
Definicja: Funkcja niemalejąca

Jeżeli dla dowolnych x1,x2a;b takich, że x1<x2 spełniony jest warunek:

fx1fx2,

to mówimy, że funkcja f jest niemalejąca w przedziale a,b.

Funkcja nierosnąca
Definicja: Funkcja nierosnąca

Jeżeli dla dowolnych x1,x2a;b takich, że x1<x2 spełniony jest warunek:

fx1fx2,

To mówimy, że funkcja f jest nierosnąca w przedziale a,b.

Funkcja stała
Definicja: Funkcja stała

Jeżeli dla dowolnych x1,x2a;b takich, że x1<x2 spełniony jest warunek:

fx1=fx2,

to funkcję f nazywamy stałą w przedziale a,b.

RfC9W1bQ7Ip3m1
Animacja pokazuje wykres funkcji stałej.
Kąty naprzemianległe i odpowiadające
Definicja: Kąty naprzemianległe i odpowiadające
  • Kąty: αα1,  ββ1, γγ1 oraz δδ1 nazywamy kątami odpowiadającymi.

  • Kąty α1δ oraz β1γ nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.

  • Kąty βγ1 oraz αδ1 nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

    RXoOkGDSnZ9A31

Kąty przyległe i wierzchołkowe
Definicja: Kąty przyległe i wierzchołkowe
  • Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.

  • Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.

    R17EFmv3QSulO1

    Na przykład αγ na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołkowych to αβ oraz γδ.

Miejsce zerowe funkcji
Definicja: Miejsce zerowe funkcji

Każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0 nazywamy miejscem zerowym tej funkcji.

odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

o dwusiecznych kątów trójkąta
Twierdzenie: o dwusiecznych kątów trójkąta

Dwusieczne każdego z kątów w trójkącie przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

RmHLgU2tM0aZa1

Odcinki łączące środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC z wierzchołkami tego trójkąta podzieliły trójkąt na trzy trójkąty ABS, BCSACS.
Wysokość każdego z tych trójkątów jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt ABC (jak na rysunku).

RTFTlSi6QYHce1

Pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów BCS, ACSABS

PABC=PBCS+PACS+PABS=12ar+12br+12cr=a+b+c2r.

Wyprowadziliśmy w ten sposób wzór na pole trójkąta, w którym występują długości jego boków oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

o kątach wierzchołkowych
Twierdzenie: o kątach wierzchołkowych

Kąty wierzchołkowe są równe.

o linii środkowej w trapezie
Twierdzenie: o linii środkowej w trapezie

Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw tego trapezu, a jego długość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu.

RLFCoKQvm4KfS1
Animacja pokazuje w pięciu krokach dowód na podaną regułę. W trapezie A B C D z zaznaczono podstawę górną a i podstawą dolną b. Poprowadzono przekątną AC i oznaczono jej środek przez G. Następnie oznaczono przez E i F odpowiednio środki odcinków AD i BC. Zauważamy, że stosunek długości odcinków DC i EG wynosi 1 do 2. Odcinek EG jest linią środkową w trójkącie A C D, czyli jest równoległy do podstawy DC i równy 0,5a. Odcinek AB jest dwa razy dłuższy od odcinka GF, więc odcinek GF jest linią środkową w trójkącie A B C, czyli jest równoległy do podstawy AB i równy 0,5b. Odcinki EG i GF są częścią prostej równoległej do podstawy trapezu i przechodzącej przez punkt G, stąd długość linii środkowej w trapezie jest równa połowie sumy długości podstaw trapezu a i b.
o symetralnych boków trójkąta
Twierdzenie: o symetralnych boków trójkąta

Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

R1DdQegoGHm371
Dowód
RVs0z01Zb6Rjl1
Animacja prezentuje dowód na wyznaczenie środka okręgu opisanego na trójkącie A B C. Jest to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta. W trójkącie A B C prowadzimy symetralne boków AB i BC. Zaznaczamy punkt przecięcia S poprowadzonych symetralnych. Długości odcinków AS, BS i CS mają tę samą długość. Ponieważ długości odcinka CS jest równa długości odcinka AS, to symetralna przechodzi przez punkt S. Symetralne boków trójkąta przecinają się w tym samym punkcie. Jeżeli poprowadzimy okrąg o środku w punkcie S i promieniu równym AS, to będzie on przechodził przez wszystkie wierzchołki trójkąta A B C. Jest to okrąg opisany na trójkącie A B C.
Pitagorasa
Twierdzenie: Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

a2+b2=c2.
R1NhwQt45irzA1
Dowód
RvKOejl119lWC1
Animacja prezentuje dowód twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a, b oraz przeciwprostokątnej c. Przedłużając przyprostokątne a i b budujemy kwadrat o boku a +b.   Jednocześnie budujemy kwadrat oparty na przeciwprostokątnej c. Okazuje się, że jest on wpisany w kwadrat o bokach długości a +b.  Kwadrat o boku a +b składa się z kwadratu o bok c oraz 4 trójkątów prostokątnych. Po obliczeniu pól każdej z figur zauważamy, że c do potęgi drugiej jest równe a do potęgi drugiej plus b do potęgi drugiej.  Pole kwadratu opartego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól dwóch kwadratów opartych na przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego.
 Pole trójkąta
Twierdzenie:  Pole trójkąta

Pole trójkąta o bokach długości a, b, c oraz promieniu r okręgu wpisanego w ten trójkąt wyraża się wzorem

P=a+b+c2 r.

Gdy oznaczymy a+b+c2=p, wzór przyjmuje postać P=pr.

Pole wycinka
Definicja: Pole wycinka

Pole wycinka koła o promieniu r i kącie α jest równe

Pwycinka=α360°πr2
Potęga o wykładniku 1n
Definicja: Potęga o wykładniku 1n

Dla dowolnej liczby nieujemnej a i liczby naturalnej n większej od 1 przyjmujemy

a1n=an.
Proporcjonalność prosta
Definicja: Proporcjonalność prosta

Funkcja f, opisująca zależność między dodatnimi wielkościami wprost proporcjonalnymi xy nazywana jest proporcjonalnością prostą, a iloraz yx nazywamy współczynnikiem tej proporcjonalności. Oznaczając ten współczynnik przez a, zapisujemy funkcję f wzorem

fx=ax,

gdzie x>0.
Uwaga: Wprost z definicji wynika, że a>0.

Wielkości wprost proporcjonalne
Definicja: Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie zmienne wielkości dodatnie nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz tych wielkości jest stały.

Własności podobieństwa
Twierdzenie: Własności podobieństwa

Jeżeli trójkąt A'B'C' jest podobny do trójkąta ABC w skali podobieństwa k, to stosunek obwodów tych trójkątów jest równy skali podobieństwa, a stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa

LA'B'C'LABC=k
PA'B'C'PABC=k2.
Wycinek koła
Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch jego części wyznaczonych przez dwa promienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt pomiędzy tymi promieniami nazywamy kątem wycinka.

R1Ln1hoIdTjvs1
Wykres funkcji fx=ax
Twierdzenie: Wykres funkcji fx=ax

Wykresem funkcji fx=ax, gdzie a to ustalona liczba rzeczywista, jest prosta o równaniu y=ax.

zaokrąglania liczb
Reguła: zaokrąglania liczb

Jeżeli liczbę dodatnią zaokrąglamy do ustalonego rzędu wielkości, np. do tysięcy, setek, dziesiątek, jedności, części dziesiątych, części setnych itd., to wszystkie cyfry stojące po prawej stronie ostatniej (licząc od strony lewej) cyfry znaczącej zastępujemy zerami. Z cyframi znaczącymi postępujemy następująco:

  • gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest mniejsza od 5, to wszystkie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian,

  • gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest co najmniej równa 5, a ostatnia cyfra znacząca jest mniejsza od 9, to tę cyfrę zwiększamy o 1, a wszystkie poprzednie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian. Jeśli natomiast ostatnią cyfrą znaczącą jest 9, to zamiast niej piszemy cyfrę 0 i tę samą procedurę stosujemy do poprzednich cyfr znaczących.