Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Ciąg arytmetyczny
Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciąg an nazywamy arytmetycznym, jeżeli ma co najmniej 3 wyrazy i każdy jego wyraz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy ją r.
Jeśli więc ciąg jest skończony i ma k3 wyrazów, to an+1=an+r dla dowolnej liczby całkowitej 1nk-1. Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to an+1=an+r dla dowolnej liczby całkowitej n1.

Ciąg geometryczny
Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg an nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli ma przynajmniej 3 wyrazy, jego pierwszy wyraz jest różny od 0, a każdy następny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy przez q.

Ciągi monotoniczne
Definicja: Ciągi monotoniczne
  • Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an+1>an
  • Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an+1<an
  • Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość

an+1=an
  • Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an+1an
  • Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi nierówność

an+1an

Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.

Definicja ciągu
Definicja: Definicja ciągu
  • Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb całkowitych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.

  • Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb całkowitych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór {1,2 ,...,n}, gdzie n jest ustaloną dodatnią liczbą całkowitą.

  • Ciąg dwuwyrazowy jest parą uporządkowaną, z którą spotkaliśmy się, np. podając współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Zwróćmy uwagę, że pary uporządkowane (1, 3)(3, 1) są różne.

  • Ciąg opisany w przykładzie powyżej jest skończony, ponieważ w kolejce stoi 5 osób, czyli skończona liczba osób. Dziedziną tego ciągu jest zbiór {1,2,3,4,5}.

  • Jeżeli elementy jakiegoś zbioru ponumerujemy, a więc ustalimy kolejność tych elementów, to w ten sposób otrzymamy ciąg.

W praktyce będziemy zajmować się najczęściej ciągami liczbowymi, czyli takimi, których wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj (an ) , (bn ), (cn ), itd. Natomiast an oznacza n-ty wyraz ciągu an, na przykład drugi wyraz ciągu an to a2.
Jeżeli ciąg z podanego wyżej przykładu 1 oznaczymy an, to a1=Tomek, a2=Małgosia, a3=Julka, a4=Franek, a5=Jurek.

Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej i ogólnej
Twierdzenie: Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej i ogólnej

Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej fx=ax2+bx+c lub w równoważnej postaci kanonicznej f(x)=ax-p2+q, gdzie p=-b2aq=-Δ4a.
Symbolem (delta) oznaczyliśmy liczbę Δ=b2-4ac, którą nazywamy wyróżnikiem funkcji kwadratowej f.

Dowód

Zauważmy, że po rozwinięciu wyrażenia x-p2, postać kanoniczną funkcji f możemy zapisać jako

fx=ax2-2px+p2+q,

stąd

fx=ax2-2apx+ap2+q.

Aby dla każdego x zachodziła równość

ax2-2apx+ap2+q=ax2+bx+c

potrzeba i wystarcza, żeby równe były współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x. Zatem
-2ap=b oraz ap2+q=c, stąd p=-b2aq=c-a-b2a2=c-ab24a2=c-b24a=4ac-b24a. Przyjmując oznaczenie Δ=b2-4ac, otrzymujemy q=-Δ4a.
Należy zauważyć, że do przekształcenia wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do kanonicznej można też zastosować wzór skróconego mnożenia (tę metodę stosowaliśmy w kilku poprzednich przykładach). Przekształcamy wtedy według poniższego schematu

fx=ax2+bx+c=ax2+bax+c=ax+b2a2-b24a2+c=
=ax+b2a2-b24a+c=ax+b2a2-b2-4a24a=ax+b2a2-Δ4a.
Funkcja kwadratowa zmiennej x
Definicja: Funkcja kwadratowa zmiennej x

Funkcją kwadratową zmiennej x nazywamy funkcję określoną wzorem

fx=ax2+bx+c,

gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, przy czym liczba a jest różna od zera.
Powyższy wzór funkcji kwadratowej nazywamy jej postacią ogólną.

  • Wzór funkcji kwadratowej możemy też zapisać w postaci kanonicznej

fx=ax-p2+q,

gdzie a, p oraz q to liczby rzeczywiste i a0.

Funkcja wykładnicza
Definicja: Funkcja wykładnicza

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem fx=ax, gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od 1.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej
Twierdzenie: Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa f określona wzorem fx=ax2+bx+c, a0

  • ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste x1x2 wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik jest dodatni.
    Wówczas wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej fx=ax-x1x-x2,
    gdzie x1=-b+Δ2a oraz x2=-b-Δ2a.

  • ma dokładnie jedno miejsce zerowe x0 wtedy i tylko wtedy, gdy = 0. W tym przypadku wzór funkcji f można zapisać w postaci iloczynowej fx=ax-x02, gdzie x0=-b2a.

  • nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy Δ<0. Wtedy wzoru funkcji f nie można zapisać w postaci iloczynowej.

Liczba rozwiązań równania kwadratowego
Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Równanie kwadratowe

ax2 + bx + c = 0
  • nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy  < 0,

  • ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste x0=-b2a wtedy i tylko wtedy, gdy  = 0,

  • ma dwa (różne) rozwiązania rzeczywiste x1=-b-Δ2a oraz x2= -b+Δ2a wtedy i tylko wtedy, gdy > 0.

Logarytm
Definicja: Logarytm

Logarytmem logac dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c.
logac=b wtedy i tylko wtedy, gdy ab=c.

Logarytm iloczynu
Twierdzenie: Logarytm iloczynu

Jeżeli liczba a jest dodatnia i różna od 1, to dla dowolnych liczb dodatnich xy

logaxy=logax+logay

Dowód
Oznaczmy c=logax oraz d=logay. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac=x oraz ad=y. Zatem

logaxy=logaacad=logaac+d=c+d

Stosując przyjęte oznaczenia, mamy

logaxy=logax+logay

To kończy dowód.

Logarytm ilorazu
Twierdzenie: Logarytm ilorazu

Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnych liczb x>0y>0 prawdziwa jest równość

logaxy=logax-logay

Dowód
Oznaczmy c=logax oraz d=logay. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac=x oraz ad=y. Zatem

logaxy=logaacad=logaac-d=c-d

czyli stosując przyjęte oznaczenia

logaxy=logax-logay

To kończy dowód.

Logarytm potęgi
Twierdzenie: Logarytm potęgi

Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnej liczby x>0 prawdziwa jest równość

logaxr=rlogax

Dowód
Oznaczmy c=logax. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac=x. Zatem

logaxr=logaacr=logaarc=rc

Stosując przyjęte oznaczenia mamy

logaxr=rlogax

To kończy dowód.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg ten jest rosnący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest ujemna, to ciąg ten jest malejący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest równa zero, to ciąg jest stały i jego wszystkie wyrazy są równe a1.

O sumie wyrazów ciągu arytmetycznego
Twierdzenie: O sumie wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma Sn początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego an jest równa Sn=2a1+n-1r 2n=a1+an2n.

Oś symetrii funkcji kwadratowej
Twierdzenie: Oś symetrii funkcji kwadratowej

Jeżeli funkcja kwadratowa

fx=ax2+bx+c

ma dwa miejsca zerowe x1x2, to oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f ma równanie

x=x1+x22

Dowód
Jak zauważyliśmy, oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f, to jednocześnie symetralna odcinka o końcach w punktach x1,0x2,0. Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych x1+x22,0. Dla dowodu wystarczy więc pokazać, że

x1+x22=p.

Ponieważ

x1+x2=-b-Δ+-b+Δ2a=-ba,

więc

x1+x22=-b2a=p.
Proporcjonalność odwrotna
Definicja: Proporcjonalność odwrotna

Funkcja f opisująca zależność między dodatnimi wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi xy nazywana jest proporcjonalnością odwrotną, a iloczyn xy=a nazywany jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.
Z faktu, że liczby xy są dodatnie, wynika, że współczynnik a także jest dodatni.
Zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi xy możemy zapisać również w postaci y=ax .

Proste prostopadłe
Twierdzenie: Proste prostopadłe

Proste o równaniach m:y=a1x+b1 oraz k:y=a2x+b2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek

a1a2=-1
Proste równoległe
Twierdzenie: Proste równoległe

Proste o równaniach

  • m:y=a1x+b1

  • k:y=a2x+b2

są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.

a1=a2
Rozwiązanie równania xn=a
Twierdzenie: Rozwiązanie równania xn=a

Dla liczby naturalnej dodatniej n, większej od 1, oraz liczby rzeczywistej a0 równanie xn=a ma

  • jedno rozwiązanie równe x=an, gdy n jest liczbą nieparzystą,

  • dwa rozwiązania równe x=an oraz x=-an, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą dodatnią,

  • zero rozwiązań, gdy n jest liczbą parzystą oraz a jest liczbą ujemną.

Równanie ogólne prostej
Definicja: Równanie ogólne prostej

Równanie Ax+By+C=0, gdzie A, BC są liczbami rzeczywistymi oraz AB nie są jednocześnie równe zero, nazywamy równaniem ogólnym prostej.

Twierdzenie o sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
Twierdzenie: Twierdzenie o sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Jeżeli an jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to suma Sn jego n początkowych wyrazów jest równa
Sn=a11-qn1-q dla q1 albo Sn=na1 dla q=1.

Uogólnienie własności wyrazów ciągu arytmetycznego
Własność: Uogólnienie własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Dla dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego n>1 oraz dowolnej dodatniej liczby całkowitej k<n mamy

an=an-k+an+k2

Zauważmy, że wyrazy an-k, an,an+k są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy kr. Zatem twierdzenie to wynika także z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Wielkości odwrotnie proporcjonalne
Definicja: Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Mówimy, że dwie dodatnie wielkości xy są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera.

Wielomian
Definicja: Wielomian

Wielomianem zmiennej x stopnia n(n-  liczba naturalna dodatnia) nazywamy funkcję określoną wzorem

Wx=anxn+an-1xn-1++a1x+a0

gdzie xR, an0 oraz an-1, an-2,,a1,a0 są liczbami rzeczywistymi. Liczby an,an-1, an-2,,a1,a0nazywamy współczynnikami wielomianu.

  • Przyjmujemy ponadto, że funkcja liniowa stała Wx=a0 , gdzie a00, jest wielomianem stopnia zerowego, natomiast funkcję liniową Wx=0 nazywamy wielomianem zerowym i nie określamy stopnia tego wielomianu.

  • Zgodnie z tą definicją funkcja liniowa f(x)=ax+b jest wielomianem stopnia pierwszego, gdy a0, a funkcja kwadratowa

gx=ax2+bx+

jest wielomianem stopnia drugiego. Oczywiście a0, gdyż inaczej nie byłaby to funkcja kwadratowa.

Własności wyrazów ciągu arytmetycznego
Własność: Własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Ciąg an jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny wyraz tego ciągu (poza pierwszym i ostatnim, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich
an=an+1+an-12 dla n>1
Niekiedy łatwiej korzystać z tej równości zapisanej w postaci

2an=an+1+an-1
Własność ciągu geometrycznego
Własność: Własność ciągu geometrycznego

Ciąg an o wyrazach różnych od 0 jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej n>1 (1<n<k, ciąg an jest k-wyrazowy) prawdziwa jest równość

an2=an+1an-1

Jeżeli wyrazy ciągu an są liczbami dodatnimi, to równość an2=an+1an-1 możemy zapisać w postaci an=an+1an-1.
Oznacza to, że wyraz an jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego an o różnicy r jest równy an=a1+n-1r.
Zależność między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a więc równość an+1=an+r możemy też zapisać w postaci równoważnej an+1-an=r.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeżeli a1 jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego anq jest ilorazem tego ciągu, to dla dowolnej liczby całkowitej n>1 mamy an=a1qn-1 .