Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RaUTlKSsUXnpB11

Ćwiczenie 1

Połącz w pary równości z ich opisami.

\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{C D} + \vec{A B}

Możliwe odpowiedzi: 1. Łączność iloczynu, 2. Rozdzielność iloczynu względem sumy liczb, 3. Reguła trójkąta, 4. Odejmowanie jako dodawanie wektora przeciwnego, 5. Przemienność dodawania, 6. Łączność dodawania, 7. Rozdzielność iloczynu względem sumy wektorów, 8. Suma wektorów przeciwnych, 9. Element neutralny dodawania

(\vec{A B} + \vec{C D}) + \vec{E F} = \vec{A B} + (\vec{C D} + \vec{E F})

\vec{A B} + 0 = \vec{A B}

\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}

(k l) \vec{A B} = k (l \vec{A B})

k (\vec{A B} + \vec{C D}) = k \vec{A B} + k \vec{C D}

(k + l) \vec{A B} = k \vec{A B} + l \vec{A B}

\vec{A B} - \vec{C D} = \vec{A B} + \vec{D C}

\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}

Połącz w pary równości z ich opisami.

\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{C D} + \vec{A B}

(\vec{A B} + \vec{C D}) + \vec{E F} = \vec{A B} + (\vec{C D} + \vec{E F})

\vec{A B} + 0 = \vec{A B}

\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}

(k l) \vec{A B} = k (l \vec{A B})

k (\vec{A B} + \vec{C D}) = k \vec{A B} + k \vec{C D}

(k + l) \vec{A B} = k \vec{A B} + l \vec{A B}

\vec{A B} - \vec{C D} = \vec{A B} + \vec{D C}

\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}

RLN9GER7JxXbV1

Ćwiczenie 2

Przyporządkuj wektory równe wektorom z nagłówka. Przeciągnij i upuść.

\vec{u}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u} + \vec{u}

, 2.

\frac{3}{2} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{u}

, 3.

\frac{3}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u}

, 4.

- \frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u}

, 5.

- 2 (\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u})

, 6.

- \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{2}{3} \vec{u}

, 7.

\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{u}

, 8.

\frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u}

, 9.

- 2 \cdot (\frac{1}{2} \vec{u})

, 10.

- (\frac{5}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u})

, 11.

- \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{u}

, 12.

\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u}

- \vec{u}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u} + \vec{u}

, 2.

\frac{3}{2} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{u}

, 3.

\frac{3}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u}

, 4.

- \frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u}

, 5.

- 2 (\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u})

, 6.

- \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{2}{3} \vec{u}

, 7.

\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{u}

, 8.

\frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u}

, 9.

- 2 \cdot (\frac{1}{2} \vec{u})

, 10.

- (\frac{5}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u})

, 11.

- \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{u}

, 12.

\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u}

2 \vec{u}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u} + \vec{u}

, 2.

\frac{3}{2} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{u}

, 3.

\frac{3}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u}

, 4.

- \frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u}

, 5.

- 2 (\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u})

, 6.

- \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{2}{3} \vec{u}

, 7.

\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{u}

, 8.

\frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u}

, 9.

- 2 \cdot (\frac{1}{2} \vec{u})

, 10.

- (\frac{5}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u})

, 11.

- \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{u}

, 12.

\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u}

- 2 \vec{u}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u} + \vec{u}

, 2.

\frac{3}{2} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{u}

, 3.

\frac{3}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u}

, 4.

- \frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u}

, 5.

- 2 (\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u})

, 6.

- \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{2}{3} \vec{u}

, 7.

\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{u}

, 8.

\frac{3}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u}

, 9.

- 2 \cdot (\frac{1}{2} \vec{u})

, 10.

- (\frac{5}{2} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{u})

, 11.

- \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{u} - \frac{1}{3} \vec{u}

, 12.

\frac{1}{2} \vec{u} + \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{1}{6} \vec{u}

RusCtN2ASKpZ82

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Wykonaj działania:

$2 (\vec{u} + \vec{v}) + 3 (\vec{v} - 2 \vec{u})$
$\vec{u} + 4 (\vec{u} + \vec{v}) - 2 [\vec{u} - 3 (\vec{v} - \vec{u})]$

$2 (\vec{u} + \vec{v}) + 3 (\vec{v} - 2 \vec{u}) =$
$= 2 \vec{u} + 2 \vec{v} + 3 \vec{v} - 6 \vec{u} =$
$= 2 \vec{u} - 6 \vec{u} + 2 \vec{v} + 3 \vec{v} =$
$= - 4 \vec{u} + 5 \vec{v}$
$\vec{u} + 4 (\vec{u} + \vec{v}) - 2 [\vec{u} - 3 (\vec{v} - \vec{u})] =$
$= \vec{u} + 4 \vec{u} + 4 \vec{v} - 2 [\vec{u} - 3 \vec{v} + 3 \vec{u}] =$
$= 5 \vec{u} + 4 \vec{v} - 2 [4 \vec{u} - 3 \vec{v}] =$
$= 5 \vec{u} + 4 \vec{v} - 8 \vec{u} + 6 \vec{v} = - 3 \vec{u} + 10 \vec{v}$

Ćwiczenie 5

Uporządkuj poniższe zdania tak, aby powstał dowód prawa rozdzielności mnożenia wektora przez liczbę względem dodawania wektorów, czyli dla dowolnej liczby $a$ i dowolnych wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ zachodzi $a (\vec{u} + \vec{v}) = a \vec{u} + a \vec{v}$ .

R1KQv84Dt1RwN

Ilustracja przedstawia wektor o długości av→+u→ oraz dwa skonstruowane z wektorów trójkąty. Trójkąt pierwszy składa się z następujących wektorów: v→+u→, u oraz v. Trójkąt drugi jest mniejszy i składa się z następujących wektorów: av→+au→, au→ oraz av→.

R19UjON77mF94

Ćwiczenie 6

Udowodnij prawo rozdzielności iloczynu względem sumy liczb, tzn. dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ i dowolnego wektora $\vec{u}$ zachodzi $(a + b) \vec{u} = a \vec{u} + b \vec{u}$ .

Pokażemy, że obie strony równości są wektorami o tym samym kierunku, zwrocie i długości. Jeśli $a$ i $b$ są liczbami przeciwnymi, to obie strony równości są wektorami zerowymi. Jeśli $a + b \neq 0$ , to wektory $(a + b) \vec{u}$ , $a \vec{u}$ i $b \vec{u}$ mają taki sam kierunek jak wektor $\vec{u}$ . Suma $a \vec{u} + b \vec{u}$ wektorów $a \vec{u}$ i $b \vec{u}$ o tym samym kierunku również ma ten sam kierunek. Jeśli $a + b > 0$ , to zwrot wektora $(a + b) \vec{u}$ jest taki sam jak zwrot wektora $\vec{u}$ . Ponadto zwrot wektora $a \vec{u} + b \vec{u}$ jest taki sam jak zwrot dłuższego z wektorów $a \vec{u}$ i $b \vec{u}$ . Ponieważ $a + b > 0$ , to dłuższy jest wektor o zwrocie zgodnym ze zwrotem wektora $\vec{u}$ . Jeśli $a + b < 0$ , to wektory $(a + b) \vec{u}$ i $\vec{u}$ mają przeciwne zwroty. Ponadto zwrot wektora $a \vec{u} + b \vec{u}$ jest taki sam jak zwrot dłuższego z wektorów $a \vec{u}$ i $b \vec{u}$ . Ponieważ $a + b < 0$ , to dłuższy jest wektor o zwrocie przeciwnym do zwrotu wektora $\vec{u}$ . Długość wektora $(a + b) \vec{u}$ jest równa $|a + b| \cdot |\vec{u}|$ . Jeśli a i b mają takie same znaki, to również długość wektora $a \vec{u} + b \vec{u}$ jest równa $|a + b| \cdot |\vec{u}|$ . Jeśli a i b mają przeciwne znaki, to długości obu wektorów są równe $||a| - |b|| \cdot |\vec{u}|$ .

Ćwiczenie 7

Wykaż, że ze środkowych trójkąta można zbudować trójkąt.

Wskazówka: Zauważ, że wystarczy wykazać, że suma wektorów wyznaczonych przez środkowe jest wektorem zerowym.

RS7zFT6lQ53Kj

Ilustracja przedstawia trójkąt zbudowany z trzech wektorów: a→, b→, c→. Z każdego wierzchołka wyprowadzony jest także wektor dzielący przeciwległy bok trójkąta na pół. Odpowiednio środkową boku będącego wektorem a→ jest wektor ma→. Środkową boku będącego wektorem b→ jest wektor mb→. Środkową boku będącego wektorem c→ jest wektor mc→.

Trzy wektory, z których każde dwa są nierównoległe, wyznaczają trójkąt, jeśli ich suma jest wektorem zerowym.

Przy oznaczeniach jak na rysunku mamy

$\vec{m_{a}} = \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{a}$

$\vec{m_{b}} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

$\vec{m_{c}} = \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

$\vec{m_{a}} + \vec{m_{b}} + \vec{m_{c}} =$

$= \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} = \frac{3}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{c} =$

$= \frac{3}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{3}{2} \cdot \vec{0} = \vec{0}$

Zatem wektory $\vec{m_{a}}, \vec{m_{b}}, \vec{m_{c}}$ wyznaczają trójkąt.

R16TYxiu2tOWc3

Ćwiczenie 8

Na płaszczyźnie dane są punkty

A, B, C, D, O

przy czym żadne trzy spośród punktów

A, B, C, D

nie leżą na jednej prostej. Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby powstał dowód, że czworokąt

A B C D

jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy

\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}

. Elementy do uszeregowania: 1. Równość

\vec{B A} = \vec{C D}

zachodzi w czworokącie dokładnie wtedy, gdy jest on równoległobokiem, co kończy dowód., 2.

\Leftrightarrow \vec{B A} = \vec{C D}

, 3.

\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D} \Leftrightarrow

(przenosimy wektory na drugą stronę równania pamiętając o zmianie znaku), 4.

\Leftrightarrow \vec{O A} + \vec{B O} = \vec{O D} + \vec{C O} \Leftrightarrow

(zamieniamy składniki kolejnością), 5. Przekształcimy równoważnie warunek dany w zadaniu:, 6.

\Leftrightarrow \vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O D} - \vec{O C} \Leftrightarrow

(zamieniamy odejmowanie wektorów na dodawanie wektorów przeciwnych), 7.

\Leftrightarrow \vec{B O} + \vec{O A} = \vec{C O} + \vec{O D} \Leftrightarrow

(dodajemy wektory po każdej ze stron równości)

Infografika

Dla nauczyciela