Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Graniastosłup na rysunku jest prawidłowy. Jego krawędź podstawy ma długość $a$ , a wysokość wynosi $H$ .

R1PIsl4tRknSR

Grafika przedstawia graniastosłup sześciokątny. Krawędź boczna graniastosłupa jest podpisana literą H, a krawędź podstawy jest podpisana literą a. W graniastosłupie zaznaczone są dwa trójkąty. Pierwszy z nich składa się z krawędzi bocznej, dłuższej przekątnej graniastosłupa i dłuższej przekątnej podstawy graniastosłupa. Drugi z nich składa się z krawędzi bocznej, krótszej przekątnej graniastosłupa i krótszej przekątnej podstawy.

R1cvvxDPcCEbp

Ćwiczenie 2

Graniastosłup $A B C D I J K L$ jest prostopadłościanem.

RulRRo5vmz8P1

Grafika przedstawia prostopadłościan, w którym wierzchołki dolnej podstawy to A, B, C, D a wierzchołki górnej podstawy to I, J, K, L. Dłuższa krawędź podstawy BC wraz przekątną krótszej ściany bocznej CL oraz przekątną prostopadłościanu BL tworzy pierwszy trójkąt. Przekątna podstawy AC, wraz z krawędzią ściany bocznej AI i przekątną prostopadłościanu CI również tworzą trójkąt. W prostopadłościanie zaznaczono również przekątną dłuższej ściany bocznej I.

R11ENCQEiLpen

Uzupełnij zdania przeciągając odpowiedzi w poprawne miejsca.

Sinus kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy jest równy cosinusowi 1. $∡ B L C$ , 2. $∡ J C K$ , 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. $∡ K L C$ , 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.
Tangens $∡ A I D$ jest równy tangensowi 1. $∡ B L C$ , 2. $∡ J C K$ , 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. $∡ K L C$ , 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.
Sinus kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy jest równy cosinusowi 1. $∡ B L C$ , 2. $∡ J C K$ , 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. $∡ K L C$ , 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.
Cosinus $∡ B L D$ jest równy sinusowi 1. $∡ B L C$ , 2. $∡ J C K$ , 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. $∡ K L C$ , 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.
Sinus $∡ B I C$ jest równy cosinusowi 1. $∡ B L C$ , 2. $∡ J C K$ , 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. $∡ K L C$ , 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.
Tangens $∡ B A J$ jest równy tangensowi 1. $∡ B L C$ , 2. $∡ J C K$ , 3. kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy, 4. $∡ K L C$ , 5. kąta, jaki przekątna graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną, 6. kąta pomiędzy przekątną prostopadłościanu, a krawędzią podstawy.

Ćwiczenie 3

Graniastosłup na rysunku jest prosty. Wiemy, że $\cos α = \frac{3}{5}$ , a długość wysokości graniastosłupa wynosi $4$ .

ReKVqSOsP3P6u

Grafika przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trójkąta, gdzie wierzchołki dolnej podstawy to A, B, C a wierzchołki górnej podstawy to G, H, I. W graniastosłupie zaznaczono kąt alfa pomiędzy krawędziami podstawy GH oraz GI. W graniastosłupie zaznaczono również kąt beta pomiędzy przekątną ściany bocznej BI i krawędzią podstawy BC. Jedno z ramion podstawy GH ma długość 3, a bok GI ma długość pięć.

RjRVgokYyjaaf

Ćwiczenie 4

Graniastosłup na rysunku jest sześcianem.

R1edc2HSPaFdE

Grafika przedstawia sześcian, w którym zaznaczono kąt alfa pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią ściany bocznej, kąt beta pomiędzy przekątną ściany bocznej i krawędzią górnej podstawy, kąt gamma pomiędzy przekątną ściany bocznej i krawędzią ściany bocznej oraz kąt delta pomiędzy przekątną podstawy i przekątną graniastosłupa.

RHUYjs8bYd4m7

R1X4gfp9r23uh

R15iqhLDgXDbZ

Ćwiczenie 5

Kąt nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do podstawy wynosi $30 °$ , a długość krawędzi bocznej jest równa $4$ . Oblicz miarę kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

R1dVaSa1xFZx6

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. W graniastosłupie zaznaczono kąt pomiędzy dłuższą przekątną dolnej podstawy i dłuższą przekątną graniastosłupa, ma on wartość 30 stopni. Kąt pomiędzy krótszą przekątną podstawy i krótszą przekątną graniastosłupa podpisano literą alfa. Krawędź ściany bocznej graniastosłupa ma długość cztery.

Obliczmy długość krawędzi podstawy

$tg 30 ° = \frac{4}{2 a}$ , czyli $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{a}$ .

Mamy zatem $a = 2 \sqrt{3}$ .

Obliczmy długość krótszej przekątnej podstawy $a \sqrt{3} = 6$ .

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy $tg α = \frac{4}{6} \approx 0, 6667$ .

A zatem $α \approx 33 °$ .

Ćwiczenie 6

Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez prostokątny jak na rysunku.

RSCMm4bWqn4SY

Grafika przedstawia trapez prostokątny, w którym kąt pomiędzy ukośnym ramieniem a dłuższą podstawą jest równy 45 stopni. Dłuższa podstawa ma długość cztery, krótsza podstawa ma długość dwa. Pionowe ramię trapezu ma długość dwa.

Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa, jeżeli sinus kąta pomiędzy przekątnymi najmniejszych ścian bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka wynosi $0, 6$ .

Krótsza przekątna oraz dłuższe ramię trapezu są przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych równych $2$ , a zatem mają długość $2 \sqrt{2}$ .

R1S5dMar7iwfx

Grafika przedstawia trapez prostokątny, w którym kąt pomiędzy ukośnym ramieniem a dłuższą podstawą jest równy 45 stopni. W trapezie narysowano wysokość, która dzieli trapez na trójkąt i kwadrat. Dłuższa podstawa została podzielona na dwa odcinki o długości dwa, krótsza podstawa ma długość dwa. Pionowe ramię trapezu ma długość dwa oraz wysokość ma długość dwa. Przekątna powstałego kwadratu ma długość 22. Ukośne ramię trapezu ma długość 22.

Narysujmy ten graniastosłup i oznaczmy kąt, o którym mowa w zadaniu przez $α$ .

R1KTdWhmyNWcv

Grafika przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trapezu prostokątnego. W podstawie znajduje się trapez, którego ukośne ramię jest pod kątem 45 stopni do podstawy. Prostopadłe ramię ma długość dwa. Krótsza podstawa ma długość dwa. Krawędź ściany bocznej graniastosłupa podpisano literą H. W graniastosłupie zaznaczono przekątne ścian bocznych przylegających bo boków podstawy o długości dwa. Każdą z przekątnych podpisano literą c. Na górnej podstawie zaznaczono przekątną podstawy, która ma długość 22. Kąt pomiędzy przekątnymi ścian bocznych zaznaczono literą alfa.

Mamy, że $\sin α = 0, 6$ .

Możemy obliczyć długość przekątnej $c$ z twierdzenia cosinusów.

Obliczmy więc $\cos α$ z jedynki trygonometrycznej

${(0, 6)}^{2} + \cos^{2} α = 1$ , a stąd $\cos^{2} α = 0, 64$ .

Ponieważ $α$ jest kątem ostrym, to $\cos α = 0, 8$ .

Obliczmy $c^{2}$ .

${(2 \sqrt{2})}^{2} = c^{2} + c^{2} - 2 \cdot c^{2} \cdot \cos α$ .

A stąd $8 = 2 c^{2} - 2 c^{2} \cdot 0, 8$ , czyli $c^{2} = 20$ .

Obliczmy $H$ z twierdzenia Pitagorasa

$4 + H^{2} = 20$ , a stąd $H = 4$ .

Możemy już obliczyć pole całkowite tego graniastosłupa

$P_{c} = 2 \cdot \frac{(2 + 4) \cdot 2}{2} + 4 \cdot (2 + 2 + 4 + 2 \sqrt{2}) =$

$= 12 + 32 + 8 \sqrt{2} = 44 + 8 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 7

Stosunek długości krawędzi podstawy do krawędzi bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $2 : 3$ . Oblicz kąt nachylenia przekroju, którego bokami są przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych wychodzących z jednego wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

Zauważmy, że kąt nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy jest kątem pomiędzy wysokością przekroju wychodzącą ze wspólnego wierzchołka przekątnych ścian bocznych oraz połową przekątnej podstawy. Odcinki te są bokami trójkąta prostokątnego, którego drugą z przyprostokątnych jest krawędź boczna.

Niech $a = 2 x$ i $H = 3 x$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1DDDERYEJEj6

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty czworokątny o krawędzi podstawy 2 x oraz o wysokości 3 x. W górnej podstawie poprowadzono przekątną o długości x pierwiastek kwadratowy z dwa. Z końców przekątnej poprowadzono dwie przekątne ścian do jednego wierzchołka, tworząc w ten sposób trójkąt równoramienny, którego ramiona to przekątne sąsiadujących ścian bryły, a podstawa tego trójkąta to przekątna górnej podstawy bryły. Poprowadzono wysokość trójkąta na jego podstawę. Wysokość ta jest jednocześnie przekątną drugiego zaznaczonego na rysunku trójkąta, który jest prostokątny. Przyprostokątne tego trójkąta to połowa drugiej przekątnej górnej podstawy o długości x pierwiastków z dwóch przez dwa bryły oraz krawędź ściany o długości 3 x.

Szukany kąt został oznaczony przez $β$ .

Mamy więc $tg β = \frac{3 x}{x \sqrt{2}} \approx 2, 1213$ .

A stąd $β \approx 65 °$ .

Ćwiczenie 8

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt jak na rysunku.

RzYsXrG3uSfQw

Grafika przedstawia trójkąt, którego podstawę podpisano literą c i jej długość jest równa osiem. Prawe ramię a jest nachylone do podstawy pod kątem beta równym 105 stopni. Lewe ramię podpisane jest literą b i jest ono nachylone do podstawy pod kątem alfa równa się 45 stopni.

Oblicz wysokość tego graniastosłupa, jeżeli objętość wynosi $64$ . Przyjmij $\sin 105 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Z twierdzenia sinusów

$\frac{8}{\sin 30 °} = \frac{a}{\sin 45 °}$ , a zatem $\frac{8}{\frac{1}{2}} = \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

Stąd $16 = a \sqrt{2}$ i ostatecznie $a = 8 \sqrt{2}$ .

Obliczamy pole tego trójkąta

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin β = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} =$

$= 8 \sqrt{12} + 16 = 16 \sqrt{3} + 16 = 16 (\sqrt{3} + 1)$ .

Podstawiając do wzoru na objętość mamy

$64 = 16 (\sqrt{3} + 1) \cdot H$ , a stąd $H = \frac{4}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = 2 (\sqrt{3} - 1)$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela