Niech $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CD}$ będą wektorami na osi, gdzie $A=\left(x_1\right)$, $B=\left(x_2\right)$, $C=\left(x_3\right)$, $D=\left(x_4\right)$, co oznacza, że $\overrightarrow{AB}=\left[x_2-x_1\right]$, $\overrightarrow{CD}=\left[x_4-x_3\right]$. Jeżeli $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$, to wektory $\overrightarrow{u}$ mają ten sam kierunek, zwrot i długość lub oba są wektorami zerowymi.

Wektory mają ten sam kierunek wtedy i tylko wtedy, gdy leżą na tej samej prostej (osi). Wektory mają ten sam zwrot wtedy i tylko wtedy, gdy albo $x_2>x_1$, albo $x_2<x_1$ i $x_4-x_3$ mają ten sam znak.

Wektory mają tę samą długość wtedy i tylko wtedy, gdy odległość $A$ od $B$ jest taka sama jak odległość $D$ od $C$.

Zatem liczby $x_2-x_1$ i $x_4-x_3$ są równe.

Zauważmy jeszcze tylko, że wektory zerowe mają współrzędną równą zero. Co kończy dowód.

Najpierw zauważmy, że dla $k=0$ mamy $k\overrightarrow{u}=0\overrightarrow{·u}=\overrightarrow{0}$ oraz $\left[ka\right]=\left[0·a\right]=\left[0\right]$. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla $k=0$.

Dalsze rozumowanie przeprowadzimy dla $k\ne 0$.

Zgodnie z definicją iloczynu wektora przez liczbę, wektor $k\overrightarrow{u}$ ma ten sam kierunek, co wektor $\overrightarrow{u}$. Jeśli $k>0$, to zwroty wektorów $\overrightarrow{u}$ i $k\overrightarrow{u}$, są zgodne, jeśli zaś $k<0$, to zwroty obu wektorów są przeciwne. Długość wektora $k\overrightarrow{u}$ jest równa $\left|k\right|·\left|\overrightarrow{u}\right|$.

Oczywiście wektor o współrzędnej $\left[ka\right]$ leży na tej samej osi co wektor o współrzędnej $\left[a\right]$, więc ma ten sam kierunek. Niech teraz $\overrightarrow{u}=\left[a\right]$ ma początek w punkcie $A=\left(x_1\right)$ i koniec w punkcie $B=\left(x_2\right)$.

Przyjmijmy ponadto, że $C$ i $D$ to odpowiednio początek i koniec wektora o współrzędnej $\left[ka\right]$. Wówczas $a=x_2-x_1$ oraz $ka=k{x}_2-k{x}_1$, co oznacza, że $C=\left(k{x}_1\right)$, zaś $D=\left(k{x}_2\right)$.

Jeśli $k>0$, to liczby $k{x}_1$ i $k{x}_2$ są uporządkowane na osi tak samo jak liczby $x_1$ i $x_2$, czyli wektory $\left[a\right]$ i $\left[ka\right]$ mają zgodne zwroty, jeśli $k<0$, to liczby $k{x}_1$ i $k{x}_2$ są uporządkowane odwrotnie niż liczby $x_1$ i $x_2$, czyli wektory $\left[a\right]$ i $\left[ka\right]$ mają przeciwne zwroty. Długość wektora $\left[ka\right]=\left[k{x}_2-k{x}_1\right]$ jest równa $\left|ka\right|=\left|k{x}_2-k{x}_1\right|=\left|k\left(x_2-x_1\right)\right|=\left|k\right|·\left|x_2-x_1\right|=\left|k\right|·\left|a\right|$.

Pokazaliśmy, że wektory $k\overrightarrow{u}$ i $\left[ka\right]$ mają takie same: kierunek, zwrot i długość, zatem są równe. Co kończy dowód.