Sprawdź się - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

1

Pokaż ćwiczenia:

R12wBlDUtXTQC1

Ćwiczenie 1

Zaznacz prawidłową odpowiedź. Pochodna funkcji $f (x) = x^{6}$ jest równa:

$f' (x) = 6 x^{5}$
$f' (x) = 7 x^{5}$
$f' (x) = 6 x^{6}$

R1QfHtFKvwNh31

Ćwiczenie 2

Wskaż funkcje, których pochodna jest równa $0$ .

$f (x) = x$
$f (x) = 6$
$f (x) = x^{0}$
$f (x) = 200$
$f (x) = x^{2}$

R18WmBuFU3pBr1

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Pochodna funkcji $f (x) = x^{56}$ jest równa:

$x^{55}$
$56 x^{55}$
$55 x^{55}$

2

Ćwiczenie 4

Wyznacz pochodne następujących funkcji:

$f\left(x\right)=2000$ ,
$g(\left(x\right)=x^{8}$ ,
$h\left(x\right)=x^{27}$ .

Zastosuj poniższe wzory opisujące pochodne funkcji stałych i potęgowych, odpowiednio:

$\left(c\right)'=0,$
$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}.$

Pochodna dowolnej funkcji stałej jest równa zero, więc $f'\left(x\right)=\left(2000\right)'=0$ .

Aby wyznaczyć pochodną funkcji $g$ , korzystamy z wzoru na pochodną funkcji potęgowej $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$ . Otrzymamy $g'\left(x\right)=\left(x^{8}\right)'=8\cdot x^{8-1}=8x^{7}.$

Wykorzystując ponownie wzór na pochodną funkcji potęgowej, znajdziemy pochodną funkcji $h$ . Dostaniemy $h'\left(x\right)=\left(x^{27}\right)'= 27\cdot x^{27-1}=27x^{26}$ .

R1OJONHAWrOYn2

Ćwiczenie 5

Dopasuj poniższe funkcje z odpowiadającymi im pochodnymi.

f (x) = x^{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = 7^{x} \cdot \ln 7

, 2.

f' (x) = \cos x

, 3.

f' (x) = \frac{1}{x}

, 4.

f' (x) = 7 x^{6}

, 5.

f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln 7}

, 6.

f' (x) = - \sin x

f (x) = 7^{x}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = 7^{x} \cdot \ln 7

, 2.

f' (x) = \cos x

, 3.

f' (x) = \frac{1}{x}

, 4.

f' (x) = 7 x^{6}

, 5.

f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln 7}

, 6.

f' (x) = - \sin x

f (x) = \log_{7} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = 7^{x} \cdot \ln 7

, 2.

f' (x) = \cos x

, 3.

f' (x) = \frac{1}{x}

, 4.

f' (x) = 7 x^{6}

, 5.

f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln 7}

, 6.

f' (x) = - \sin x

f (x) = \ln x

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = 7^{x} \cdot \ln 7

, 2.

f' (x) = \cos x

, 3.

f' (x) = \frac{1}{x}

, 4.

f' (x) = 7 x^{6}

, 5.

f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln 7}

, 6.

f' (x) = - \sin x

f (x) = \sin x

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = 7^{x} \cdot \ln 7

, 2.

f' (x) = \cos x

, 3.

f' (x) = \frac{1}{x}

, 4.

f' (x) = 7 x^{6}

, 5.

f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln 7}

, 6.

f' (x) = - \sin x

f (x) = \cos x

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = 7^{x} \cdot \ln 7

, 2.

f' (x) = \cos x

, 3.

f' (x) = \frac{1}{x}

, 4.

f' (x) = 7 x^{6}

, 5.

f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln 7}

, 6.

f' (x) = - \sin x

Połącz w pary poniższe funkcje i odpowiadające im pochodne.

<span aria-label="f ' nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dziesięć x indeks górny, dziewięć" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>10</mn><msup><mi>x</mi><mn>9</mn></msup></math></span>, <span aria-label="f ' nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzydzieści cztery x indeks górny, trzydzieści trzy" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>34</mn><msup><mi>x</mi><mn>33</mn></msup></math></span>, <span aria-label="f ' nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwadzieścia jeden x indeks górny, dwadzieścia" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>21</mn><msup><mi>x</mi><mn>20</mn></msup></math></span>, <span aria-label="f ' nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>7</mn><msup><mi>x</mi><mn>6</mn></msup></math></span>, <span aria-label="f ' nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzynaście x indeks górny, dwanaście" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>13</mn><msup><mi>x</mi><mn>12</mn></msup></math></span>

$f (x) = x^{7}$
$f (x) = x^{21}$
$f (x) = x^{13}$
$f (x) = x^{34}$
$f (x) = x^{10}$

R1CZbEUHt8dRG2

Ćwiczenie 6

Łączenie par. .

x^{30}

. Możliwe odpowiedzi: Pochodna

f' (x)

, Uwagi.

x^{0}

. Możliwe odpowiedzi: Pochodna

f' (x)

, Uwagi.

2^{x}

. Możliwe odpowiedzi: Pochodna

f' (x)

, Uwagi.

15

. Możliwe odpowiedzi: Pochodna

f' (x)

, Uwagi.

\log_{15} x

. Możliwe odpowiedzi: Pochodna

f' (x)

, Uwagi.

\ln x

. Możliwe odpowiedzi: Pochodna

f' (x)

, Uwagi.

\sin x

. Możliwe odpowiedzi: Pochodna

f' (x)

, Uwagi.

\cos x

. Możliwe odpowiedzi: Pochodna

f' (x)

, Uwagi

Zaznacz w tabeli poprawne komórki.

Funkcja $f (x)$	Pochodna $f' (x)$	Uwagi dotyczące funkcji
$x^{30}$	$30 x^{29}$ □	$x \in ℝ^{+}$ □
$x^{0}$	$1$ □
$15$	$0$ □
$x^{14}$	$13 x^{14}$ □	$x \in ℝ$ □
$- \frac{4}{3}$	$- \infty$ □

RZkylIZIM1seO3

Ćwiczenie 7

f (x) = x^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = 16 x^{15}

, 2.

f' (x) = 3 x^{2}

, 3.

f (x) = \frac{1}{x \cdot \ln 12}

, 4.

f' (x) = 12^{x} \cdot \ln 12

, 5.

f' (x) = 0

f (x) = 400

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = 16 x^{15}

, 2.

f' (x) = 3 x^{2}

, 3.

f (x) = \frac{1}{x \cdot \ln 12}

, 4.

f' (x) = 12^{x} \cdot \ln 12

, 5.

f' (x) = 0

f (x) = 12^{x}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = 16 x^{15}

, 2.

f' (x) = 3 x^{2}

, 3.

f (x) = \frac{1}{x \cdot \ln 12}

, 4.

f' (x) = 12^{x} \cdot \ln 12

, 5.

f' (x) = 0

f (x) = x^{16}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = 16 x^{15}

, 2.

f' (x) = 3 x^{2}

, 3.

f (x) = \frac{1}{x \cdot \ln 12}

, 4.

f' (x) = 12^{x} \cdot \ln 12

, 5.

f' (x) = 0

f (x) = \log_{12} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = 16 x^{15}

, 2.

f' (x) = 3 x^{2}

, 3.

f (x) = \frac{1}{x \cdot \ln 12}

, 4.

f' (x) = 12^{x} \cdot \ln 12

, 5.

f' (x) = 0

Połącz w pary poniższe funkcje i odpowiadające im pochodne.

<span aria-label="f ' nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></math></span>, <span aria-label="f ' nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>, <span aria-label="f ' nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzydzieści osiem x indeks górny, trzydzieści siedem" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>38</mn><msup><mi>x</mi><mn>37</mn></msup></math></span>, <span aria-label="f ' nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>, <span aria-label="f ' nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>16</mn><msup><mi>x</mi><mn>15</mn></msup></math></span>

$f (x) = x^{3}$
$f (x) = 400$
$f (x) = x^{38}$
$f (x) = x^{16}$
$f (x) = \frac{4}{5}$

RQ0P1EHuR4vsu3

Ćwiczenie 8

Uzupełnij tabelę.

$\ln x$ , $12$ , $0$ , $100 x^{99}$ , , , $19 \cdot x^{19}$ , $x \in ℝ ∖ {0}$ , $x$ , $101 x^{100}$ , $12 x$

Funkcja $f (x)$	Pochodna $f' (x)$	Uwagi

$\ln x$
	$0$
	$100 x^{99}$
$12$

3

Ćwiczenie 9

Korzystając bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji, wyznacz pochodną funkcji $f\left(x\right)=x^3$ w dowolnym punkcie $x$ , w którym funkcja jest określona.

Wykorzystaj definicję pochodnej funkcji jako granicy ilorazu różnicowego $f'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$ dla $f\left(x\right)=x^3$ .

Korzystamy bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji jako granicy ilorazu różnicowego $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$ dla funkcji $f\left(x\right)=x^3$ .

Przypomnijmy najpierw wzór skróconego mnożenia opisujący sześcian sumy: $\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ .

Pochodna funkcji $f\left(x\right)=x^3$ dla dowolnego argumentu $x_0=x\in\mathbb{R}$ będzie miała postać: $f'\left(x\right) = \lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} = \lim\limits_{h\to0}\frac{\left(x+h\right)^3-x^3}{h} = \lim\limits_{h\to0}\frac{\left(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\right)-x^3}{h} =$ $\lim\limits_{h\to0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h} = \lim\limits_{h\to0}\left(3x^2+3xh+h^2\right) = 3x^2$ . Czyli ostatecznie $f'\left(x\right)=\left(x^3\right)'=3x^2$ .