Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1K5eLcTRFW7c1

Ćwiczenie 1

RvRMlcs9AcEBa11

Ćwiczenie 2

R10ZxoWQhMSkG2

Ćwiczenie 3

Wykaż, że dla liczb rzeczywistych

x

y

nie mniejszych od

2

zachodzi nierówność

x y + 4 \geq 2 x + 2 y

.
Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie powyższego zadania. Elementy do uszeregowania: 1.

x y + 4 - 2 x - 2 y = x y - 2 x - 2 y + 4

, 2. Ponieważ powyższa nierówność równoważna jest tezie, dowód uznajemy za zakończony., 3. Zauważmy, że skoro liczby

x

y

są nie mniejsze niż

2

, więc liczby

x - 2

y - 2

są nieujemne., 4. Poniewaz iloczyn liczb nieujmenych jest nieujemny, więc

(y - 2) (x - 2) \geq 0

., 5. Rozważymy zatem wyrażenie

x y + 4 - 2 x - 2 y

, które przekształca się kolejno do:, 6. Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania i odejmowania otrzymujemy

x (y - 2) - 2 \cdot (y - 2)

., 7. Z przechodniości relacji równości wynika, że

x y + 4 - 2 x - 2 y \geq 0

., 8. Zauważmy najpierw, że teza jest równoważna nierówności

x y + 4 - 2 x - 2 y \geq 0

., 9. Ponownie korzystając z rozdzielności mnożenia względem odejmowania otrzymujemy

(y - 2) (x - 2)

Ćwiczenie 4

Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej $k$ prawdziwa jest nierówność $9 k^{2} - 9 k + 1 > 0$ .

Zauważmy, że $9 k^{2} - 9 k + 1 = 9 k (k - 1) + 1$ . Liczby $k$ i $k - 1$ są całkowite i różnią się o $1$ , zatem:

obie mogą być dodatnie; wówczas ich iloczyn jest dodatni, więc liczba $9 k (k - 1) + 1$ również jest dodatnia;
obie mogą być ujemne; wówczas ich iloczyn jest dodatni, więc liczba $9 k (k - 1) + 1$ również jest dodatnia;
jedna może być równa zeru; wówczas $9 k (k - 1) + 1 = 9 \cdot 0 + 1 = 1$ , więc liczba $9 k (k - 1) + 1$ jest dodatnia.

W każdym z rozważanych przypadków otrzymaliśmy wniosek, że $9 k^{2} - 9 k + 1 > 0$ , co kończy dowód.

Uwaga! Ponieważ liczby $k$ i $k - 1$ są całkowite i różnią się o $1$ , nie jest możliwe, aby jedna z nich była dodatnia, zaś druga ujemna.

R1ckvlyYQ6Uci21

Ćwiczenie 5

Poniżej znajduje się dowód twierdzenia. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych

x

y

zachodzi nierówność

{(2 x + y)}^{2} \geq 8 x y

. Do każdego faktu wybierz odpowiedni argument. Fakt pierwszy: Teza jest równoważna nierówności

{(2 x + y)}^{2} - 8 x y \geq 0

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

wynika, że do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę., 5. Z definicji potęgowania., 6. Z przechodniości relacji równości., 7. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania., 8. Z łączności i przemienności dodawania., 9. Z faktu: potęga o wykładniku parzystym jest nieujemna., 10. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania. Fakt drugi:

(2 x + y) (2 x + y) - 8 x y =

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

= 4 x^{2} + 2 x y + 2 x y + y^{2} - 8 x y =

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

= 4 x^{2} - 2 x y - 2 x y + y^{2} =

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

= 2 x (2 x - y) - y (2 x - y) =

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

= (2 x - y) (2 x - y) =

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

= {(2 x - y)}^{2}

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

{(2 x - y)}^{2} \geq 0

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

{(2 x + y)}^{2} - 8 x y \geq 0

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

{(2 x + y)}^{2} \geq 8 x y

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

Poniżej znajduje się dowód twierdzenia. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych

x

y

zachodzi nierówność

{(2 x + y)}^{2} \geq 8 x y

. Do każdego faktu wybierz odpowiedni argument. Fakt pierwszy: Teza jest równoważna nierówności

{(2 x + y)}^{2} - 8 x y \geq 0

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

(2 x + y) (2 x + y) - 8 x y =

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

= 4 x^{2} + 2 x y + 2 x y + y^{2} - 8 x y =

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

= 4 x^{2} - 2 x y - 2 x y + y^{2} =

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

= 2 x (2 x - y) - y (2 x - y) =

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

= (2 x - y) (2 x - y) =

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

= {(2 x - y)}^{2}

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

{(2 x - y)}^{2} \geq 0

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

{(2 x + y)}^{2} - 8 x y \geq 0

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

{(2 x + y)}^{2} \geq 8 x y

. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji

\geq

wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji

\geq

Ćwiczenie 6

Wykaż, że wartość mediany dwóch różnych ułamków dodatnich jest mniejsza od większego z nich.

Założenie: $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ ; $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są liczbami naturalnymi dodatnimi

Teza: $\frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}$

Dowód:

Korzystając z własności relacji mniejszości przekształcimy założenie.

Zauważmy, że nierówność $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ jest równoważna z nierównością $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} < 0$ , którą z kolei można przekształcić sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika $\frac{a d}{b d} - \frac{c b}{d b} < 0$ .

Zatem założenie przekształca się do postaci $\frac{a d - c b}{b d} < 0$ .

Ponieważ z założenia liczba $b d$ jest dodatnia, więc liczba $a d - b c$ jest ujemna.

Rozważmy nierówność $\frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}$ .

Z własności relacji mniejszości jest ona równoważna nierówności $\frac{a + c}{b + d} - \frac{c}{d} < 0$ .

Zbadajmy zatem wyrażenie $\frac{a + c}{b + d} - \frac{c}{d}$ :

$\frac{a + c}{b + d} - \frac{c}{d} = \frac{d (a + c)}{d (b + d)} - \frac{(b + d) c}{(b + d) d} = \frac{a d + c d - b c - d c}{d (b + d)} = \frac{a d - b c}{d (b + d)}$

Wiemy już, że licznik powyższego ułamka jest liczbą ujemną.

Ponadto łatwo zauważyć, że mianownik jest liczbą dodatnią.

Ponieważ iloraz liczby ujemnej przez dodatnią jest ujemny, więc $\frac{a d - b c}{d (b + d)} < 0$ .

Z przechodniości relacji równości mamy $\frac{a + c}{b + d} - \frac{c}{d} < 0$ , czyli $\frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}$ .

R1U2M6t3JVJMp3

Ćwiczenie 7

Wykaż, że istnieje dokładnie jedna liczba pierwsza

p

, dla której

p + 10

oraz

p + 14

są liczbami pierwszymi.
Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie powyższego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Z powyższego rozumowania wynika, że jedyną liczbą pierwszą

p

, dla której

p + 10

p + 14

są liczbami pierwszymi jest

p = 3

., 2. Zauważmy najpierw, że liczba

p = 3

spełnia warunki zadania., 3. Dla

p = 3 k + 1

mamy

p + 14 = 3 k + 1 + 14 = 3 k + 15 = 3 \cdot (k + 5)

, zatem liczba

p + 14

dzieli się przez

3

, czyli nie jest pierwsza.
Dla

p = 3 k + 2

mamy

p + 10 = 3 k + 2 + 10 = 3 k + 12 = 3 \cdot (k + 4)

, zatem liczba

p + 10

dzieli się przez

3

, czyli nie jest pierwsza., 4. Rzeczywiście: liczby

p + 10 = 13

oraz

p + 14 = 17

są pierwsze., 5. W związku z powyższym pozostałe liczby

p

są postaci:

p = 3 k + 1

lub

p = 3 k + 2

dla pewnej liczby naturalnej

k

., 6. Pozostałe liczby pierwsze nie dzielą się przez

3

Ćwiczenie 8

Uzasadnij, że poniższe stwierdzenia nie są prawdziwe. Podaj kontrprzykłady, tzn. liczby, dla których spełnione są założenia, ale teza nie zachodzi.

Stwierdzenie:

a) Jeżeli liczba jest mniejsza niż $5$ , to jej kwadrat jest mniejszy niż $25$ .

b) Jeżeli liczba jest dodatnia, to jej sześcian jest od niej większy.

c) Jeżeli liczba całkowita dzieli się przez $3$ i przez $6$ , to dzieli się przez $18$ .

d) Kwadrat sumy dwóch liczb jest równy sumie ich kwadratów.

e) Pierwiastek sumy dwóch liczb jest równy sumie ich pierwiastków.

Kontrprzykład:

a) Liczba $- 10$ jest mniejsza niż $5$ , zatem spełnia założenie, ale jej kwadrat, czyli $100$ , nie jest mniejszy niż $25$ .

b) Liczba $\frac{1}{2}$ jest dodatnia, zatem spełnia założenie, ale jej sześcian, czyli $\frac{1}{27}$ nie jest większy niż $\frac{1}{2}$ .

c) Liczba $12$ dzieli się przez $3$ i przez $6$ , zatem spełnia założenia, ale nie dzieli się przez $18$ .

d) Rozważmy liczby $1$ i $2$ . Kwadrat ich sumy to ${(1 + 2)}^{2} = 3^{2} = 9$ , zaś suma ich kwadratów to $1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$ .

e) Rozważmy liczby $9$ i $16$ . Pierwiastek ich sumy to $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , zaś suma ich pierwiastków to $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ .

Animacja

Dla nauczyciela