Rozwiązujemy równanie:

$\cos 2x=\cos x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2x=x+2k\pi$ lub $2x=-x+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Zatem

$x=2k\pi$ lub $x=\frac{2k\pi }{3}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

RaTQAKAQ0Hjfp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwóch pi oraz z pionową osią Y od minus półtora do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji, wykres funkcji y równa się cosinus x, która ma okres równy dwa pi, a jej miejsca zerowe to punkty $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}; 0\right)$ oraz $\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}; 0\right)$. Druga funkcja określona jest wzorem

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie: $(2k\pi ,\frac{2\pi }{3}+2k\pi )\cup (\frac{4\pi }{3}+2k\pi ,2\pi +2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Wprowadźmy podstawienie:

$t=\cos x$, gdzie $t\in ⟨-1,1⟩$.

Rozwiązujemy nierówność wielomianową:

$4t^3-8t^2-t+2\ge 0$

$4t^2(t-2)-(t-2)\ge 0$

$(t-2)(4t^2-1)\ge 0$

$(t-2)(2t-1)(2t+1)\ge 0$

Ponieważ $t\in ⟨-1,1⟩$, więc $(t-2)<0$.

Nierówność sprowadza się do nierówności: $(2t-1)(2t+1)\le 0$.

Otrzymujemy więc:

$-\frac{1}{2}\le t\le \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}\le \cos x\le \frac{1}{2}$

Stąd mamy rozwiązanie nierówności: $⟨\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{2\pi }{3}+k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.