Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1IgTwqWpE5v21

Ćwiczenie 1

Pole trójkąta jest dwa razy większe od iloczynu długości wszystkich jego boków. Wtedy promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

$2$
$8$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{8}$

R18HWVsSMZPRA1

Ćwiczenie 2

Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ma miarę $30 °$ . Pole tego trójkąta jest równe $12 \sqrt{3}$ . Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

$96$
$48$
$4 \sqrt{6}$
$4 \sqrt{3}$

RyKIbPp8JReaH2

Ćwiczenie 3

Dany jest trójkąt o bokach długości

a, b, c

. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

R

, a pole tego trójkąta jest równe

P

. Dopasuj, łącząc w pary, długości boków trójkąta do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie i pola trójkąta.

a = 4, b = 5, c = 6

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 6, R = \frac{5}{2}

, 2.

P = \frac{15 \sqrt{7}}{4}, R = \frac{8 \sqrt{7}}{7}

, 3.

P = 12, R = \frac{25}{8}

, 4.

P = 6 \sqrt{6}, R = \frac{35 \sqrt{6}}{24}

a = 5, b = 6, c = 7

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 6, R = \frac{5}{2}

, 2.

P = \frac{15 \sqrt{7}}{4}, R = \frac{8 \sqrt{7}}{7}

, 3.

P = 12, R = \frac{25}{8}

, 4.

P = 6 \sqrt{6}, R = \frac{35 \sqrt{6}}{24}

a = 5, b = 5, c = 6

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 6, R = \frac{5}{2}

, 2.

P = \frac{15 \sqrt{7}}{4}, R = \frac{8 \sqrt{7}}{7}

, 3.

P = 12, R = \frac{25}{8}

, 4.

P = 6 \sqrt{6}, R = \frac{35 \sqrt{6}}{24}

a = 3, b = 4, c = 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 6, R = \frac{5}{2}

, 2.

P = \frac{15 \sqrt{7}}{4}, R = \frac{8 \sqrt{7}}{7}

, 3.

P = 12, R = \frac{25}{8}

, 4.

P = 6 \sqrt{6}, R = \frac{35 \sqrt{6}}{24}

Dany jest trójkąt o bokach długości $a, b, c$ . Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $R$ , a pole tego trójkąta jest równe $P$ . Dopasuj, łącząc w pary, długości boków trójkąta do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie i pola trójkąta.

$a = 4, b = 5, c = 6$
$a = 5, b = 6, c = 7$
$a = 5, b = 5, c = 6$
$a = 3, b = 4, c = 5$

Ćwiczenie 4

Uzasadnij, że stosunek pola trójkąta do pola koła opisanego na tym trójkącie jest mniejszy, niż $\frac{2}{π}$ .

Wiemy, że $P_{△} = 2 R^{2} \cdot \sin α \cdot \sin β \cdot \sin γ$ . Zatem stosunek, o którym mowa w zadaniu jest równy $\frac{2 R^{2} \cdot \sin α \cdot \sin β \cdot \sin γ}{π R^{2}} = \frac{2 \cdot \sin α \cdot \sin β \cdot \sin γ}{π}$ . Zachodzą nierówności $\sin α \leq 1$ , $\sin β \leq 1$ , $\sin γ \leq 1$ , przy czym równości nie mogą zachodzić jednocześnie. Zatem iloczyn $\sin α \cdot \sin β \cdot \sin γ$ jest mniejszy od $1$ . Stąd $\frac{2 \cdot \sin α \cdot \sin β \cdot \sin γ}{π} < \frac{2 \cdot 1}{π} = \frac{2}{π}$ .

Ćwiczenie 5

Podaj przykłady miar kątów trójkąta, którego pole jest $π$ razy mniejsze od pola koła opisanego na tym trójkącie.

Warunek, o którym mowa w zadaniu oznacza, że $π \cdot (2 R^{2} \cdot \sin α \cdot \sin β \cdot \sin γ) = π \cdot R^{2}$ , stąd $\sin α \cdot \sin β \cdot \sin γ = \frac{1}{2}$ . Takich trójkątów jest nieskończenie wiele. W szczególności warunki zadania są spełnione, gdy $\sin α = \sin β = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Oczywiście, wtedy kąt $γ$ musi być prosty.

Ćwiczenie 6

Długości boków trójkąta wyrażają się liczbami całkowitymi, a dwa z nich mają długości odpowiednio $8$ i $17$ . Trzeci bok tego trójkąta jest o $2$ krótszy od średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. Pole tego trójkąta także wyraża się liczbą całkowitą. Wyznacz długość trzeciego z boków trójkąta.

Oznaczając przez $c$ szukaną długość, możemy z warunku trójkąta zapisać, że $c < 25$ . Ponadto mamy, że $P_{△} = \frac{a b c}{4 R} = \frac{8 \cdot 17 \cdot (2 R - 2)}{4 R} = \frac{34 \cdot (2 R - 2)}{R} = 68 - \frac{68}{R} = 68 - \frac{136}{c + 2}$ . Liczba $68 - \frac{136}{c + 2}$ z założenia jest całkowita, czyli $c + 2$ musi być podzielnikiem liczby $136$ . Z drugiej strony średnica nie może być krótsza od długości boku, zatem $c + 2 \geq 17$ . Jedynym podzielnikiem liczby $136$ , spełniającym zapisane dwie nierówności jest liczba $17$ . Stąd $c = 15$ .

RHxiIU48bhrwd3

Ćwiczenie 7

W trójkącie kąty mają miary $30 °, 45 °, 105 °$ . Mając podany promień $R$ okręgu opisanego na trójkącie, wskaż pole tego trójkąta. Przyjmij, że $\sin 105 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Dla $R = 2$ pole trójkąta wynosi:
{ $P = \sqrt{3} + 2$ } {# $P = \sqrt{3} + 1$ } { $P = \sqrt{3} - 1$ }

Dla $R = \sqrt{\sqrt{3} - 1}$ pole trójkąta wynosi:
{# $P = \frac{1}{2}$ } { $P = \sqrt{3} + 1$ } { $P = \sqrt{3} - 1$ }

Dla $R = 2 \sqrt[4]{3}$ pole trójkąta wynosi:
{ $P = 3 + \sqrt{32}$ } { $P = 2 + \sqrt{3}$ } {# $P = 3 + \sqrt{3}$ }

Dla $R = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ pole trójkąta wynosi:
{ $P = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ } { $P = \frac{\sqrt{3} + 2}{3}$ } {# $P = \frac{\sqrt{3} + 1}{3}$ }

Ćwiczenie 8

Dany jest trójkąt o bokach długości $a, b, c$ , wpisany w okrąg o promieniu $R$ . Trójkąt podobny do danego jest wpisany w okrąg o promieniu $R + 1$ i ma pole cztery razy większe, niż dany trójkąt. Wyznacz długość promienia $R$ .

Skala podobieństwa jest równa $\frac{R + 1}{R}$ , a zatem ${(\frac{R + 1}{R})}^{2} \cdot \frac{a b c}{4 R} = 4 \cdot \frac{a b c}{4 R}$ . Stąd ${(R + 1)}^{2} = 4 R^{2}$ . Stąd $R = 1$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela