Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dana jest prosta $l$ i okrąg styczny do prostej $l$ punkcie $P$ . Punkty $A$ i $B$ są wierzchołkami trójkąta $A B C$ opisanego na danym okręgu. Wyznacz konstrukcyjnie punkt $C$ .

Popatrzmy na rysunek, który ilustruje przeprowadzaną konstrukcję.

RALJrMGyX7p3N

Ilustracja przedstawia okrąg styczny do odcinka AB w punkcie P. Okrąg jest wpisany w trójkąt ABC. Okrąg jest styczny do ramienia AC w punkcie R, a do ramienia BC w punkcie Q.

Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że $|A P| = |A R|$ oraz $|B P| = |B Q|$ . Wystarczy więc wykreślić łuki odpowiednio z punktu $A$ , o promieniu $A P$ i z punktu $B$ , o promieniu $B P$ , aż do przecięcia z danym okręgiem – otrzymane punkty wspólne $Q$ , $R$ są punktami styczności, przez które poprowadzimy proste $A R$ i $B Q$ . Ich punkt przecięcia będzie szukanym wierzchołkiem trójkąta.

Ćwiczenie 2

Trójkąt prostokątny $A B C$ , o kącie prostym przy wierzchołku $C$ , jest opisany na okręgu. Odcinki, których końcami są wierzchołki trójkąta i odpowiednie punkty styczności mają długości: $3$ , $4$ , $y$ , gdzie $y > 4$ . Oblicz długości boków tego trójkąta.

Popatrzmy na rysunek.

RecEo2znmUhMp

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku C, trójkąt jest opisany na okręgu. Okrąg jest styczny do ramion trójkąta w punktach. Do ramienia AC w punkcie R, do ramienia BC w punkcie Q oraz do podstawy AB w punkcie P. Odcinki RC oraz RQ mają miarę trzy, odcinki AR i AP mają długość cztery, a odcinki BQ oraz BP mają długość y.

Możemy przyjąć, że $|A C| = 7$ , $|B C| = 3 + y$ oraz $|A B| = 4 + y$ . Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $7^{2} + {(3 + y)}^{2} = {(4 + y)}^{2}$ . Stąd $49 + y^{2} + 6 y + 9 = y^{2} + 8 y + 16$ , czyli $y = 21$ . Boki trójkąta są równe odpowiednio: $7$ , $24$ , $25$ .

Ćwiczenie 3

RcSh2gXX7aSmG

Ćwiczenie 4

RxiRJvyD7qsBK

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości

a

b

, a przeciwprostokątna jest równa

c

. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy

r

. Dopasuj długości boków trójkąta i promienia okręgu do długości przeciwprostokątnej.

a = 7

b = 24

r = 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

c = 17

, 2.

c = 25

, 3.

c = 41

a = 8

b = 15

r = 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

c = 17

, 2.

c = 25

, 3.

c = 41

a = 9

b = 40

r = 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

c = 17

, 2.

c = 25

, 3.

c = 41

Ćwiczenie 5

Obwód trójkąta $A B C$ opisanego na okręgu jest równy $24$ , a długości odcinków, których końcami są wierzchołki tego trójkąta i odpowiednie punkty styczności, są odpowiednio równe $d - 1$ , $d$ , $d + 4$ . Wyznacz długości boków tego trójkąta.

Oznaczmy przez $a$ , $b$ , $c$ długości odpowiednich boków trójkąta, gdzie $a < b < c$ . Wówczas możemy zapisać, że $a = (d - 1) + d$ , $b = (d - 1) + (d + 4)$ , $c = d + (d + 4)$ . Zatem $24 = (2 d - 1) + (2 d + 3) + (2 d + 4)$ . Stąd $24 = 6 d + 6$ , czyli $d = 3$ . Boki trójkąta mają więc długość: $a = 5$ , $b = 9$ , $c = 10$ .

Ćwiczenie 6

Dany jest okrąg, na którym opisano sześciokąt, o bokach długości: $|A_{1} A_{2}| = 5$ , $|A_{2} A_{3}| = 3$ , $|A_{3} A_{4}| = 5$ , $|A_{4} A_{5}| = 5$ , $|A_{5} A_{6}| = 4, 4$ . Oblicz długość boku $A_{1} A_{6}$ tego sześciokąta.

Popatrzmy na rysunek.

Rxe18SUR2UXGz

Ilustracja przedstawia okrąg na którym opisano sześciokąt o wierzchołkach A indeks dolny 1 koniec indeksu, A indeks dolny 2 koniec indeksu, A indeks dolny 3 koniec indeksu, A indeks dolny 4 koniec indeksu, A indeks dolny 5 koniec indeksu, A indeks dolny 6 koniec indeksu.

Takimi samymi kolorami zostały wyróżnione równe odcinki stycznych, poprowadzone z kolejnych wierzchołków. Pozwala to zauważyć, że $|A_{1} A_{2}| + |A_{3} A_{4}| + |A_{5} A_{6}| = |A_{2} A_{3}| + |A_{4} A_{5}| + |A_{1} A_{6}|$ . Podstawiając dane z zadania mamy, że: $5 + 5 + 4, 4 = 3 + 5 + |A_{1} A_{6}|$ . Stąd $|A_{1} A_{6}| = 6, 4$ .

Zauważmy, że kryterium, które zapisaliśmy dla sześciokąta opisanego na okręgu da się uogólnić na dowolny wielokąt o parzystej liczbie boków.

Ćwiczenie 7

Z punktu $P$ poprowadzono styczne w punktach $A$ i $B$ do danego okręgu. Cięciwa $A B$ ma długość $12$ , a kąt środkowy rozpięty na tej cięciwie ma miarę $120 °$ , jak na rysunku.

RrpjL7wi5OEcX

Ilustracja przedstawia okrąg. Z punktu P poprowadzono styczne w punktach A i B do danego okręgu. Zaznaczono na okręgu cięciwę AB oraz środek okręgu O. Kąt między promieniem, a styczną jest prosty. Punkt O jest równoległy do punktu P.

Oblicz długość odcina $A P$ .

Odcinek $O P$ zawiera się w dwusiecznej kąta środkowego rozpiętego na cięciwie $A B$ i w symetralnej odcinka $A B$ . Stąd $|∡ O P A| = 90 ° - \frac{1}{2} \cdot 120 ° = 30 °$ . Ale $\sin (∡ O P A) = \frac{\frac{1}{2} |A B|}{|A P|}$ . Zatem $|A P| = \frac{|A B|}{2 \cdot \sin (∡ O P A)} = \frac{12}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 12$ .

Ćwiczenie 8

Długości boków trójkąta $A B C$ są równe odpowiednio: $|A C| = d - 1$ , $|B C| = d$ , $|A B| = d + 1$ . Uzasadnij, że długość jednego z odcinków $x$ , $y$ , $z$ , których końcami są wierzchołki tego trójkąta i odpowiednie punkty styczności, jest średnią arytmetyczną długości pozostałych (patrz rysunek).

RjGV7IYcxCJhy

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC do którego wpisano okrąg styczny do ramion w punktach P, R oraz Q. Odcinki AR oraz AP mają długość x, odcinki CR oraz CQ mają długość z, a odcinki BP oraz BQ mają długość y.

Ułóż w kolejności etapy dowodu.

RmTArxnRlCHzF

Ćwiczenie 9

Udowodnij, że pole $P_{w}$ każdego wielokąta opisanego na okręgu o promieniu $r$ jest równe $P_{w} = p \cdot r$ , gdzie $p$ jest połową obwodu tego wielokąta.

Dowód:

Poprowadźmy promienie $r$ do wszystkich punktów styczności oraz dokonajmy triangulacji wielokąta, prowadząc odcinki łączące środek okręgu wpisanego i wierzchołki wielokąta. Wtedy pole każdego z tak otrzymanych trójkątów jest równe połowie iloczynu długości boku wielokąta i promienia $r$ okręgu wpisanego. Sumując pola tak otrzymanych trójkątów i wyłączając $r$ , jako wspólny czynnik przed nawias, otrzymujemy tezę twierdzenia.

Aplet

Dla nauczyciela