Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1NI3EdBkp9Uo

Ilustracja przedstawia walce z oznaczonymi wartościami. Długość promienia jako r, wysokość jako h oraz średnice podstawy jako d.

Z treści zadania wynika, że:

$h=5r$,

$d=2r$.

Zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$5r·2r=20$

$10r^2=20$

$r^2=2$, czyli $r=\sqrt{2}$.

Zatem $h=5\sqrt{2}$.

Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe:

$P_c=2\pi ·{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\pi ·\sqrt{2}·5\sqrt{2}=4\pi +20\pi =24\pi$

$P_c=480\pi$,

$h=8$.

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca.

Do wyznaczenia wartości $r$ wykorzystamy wzór na pole powierzchni całkowitej walca:

$P_c=2\pi r^2+2\pi rh$.

Zatem:

$480\pi =2\pi ·r^2+2\pi ·r·8$

$480=2·r^2+2·r·8$

$r^2+8r-240=0$,

$r_1=\frac{-8-32}{2}=-20<0$,

$r_2=\frac{-8+32}{2}=12>0$.

Zatem promień podstawy walca jest równy $12$.

Wobec tego pole powierzchni bocznej walca wynosi:

$P_b=2\pi ·12·8=192\pi$.

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca, a $h$ jego wysokością.

Z warunków zadania wynika, że $h=2r$ oraz $h·2r=P$.

Zatem $2r·2r=P$, czyli $4r^2=P$.

Wobec tego:

$r=\frac{\sqrt{P}}{2}$,

$h=2r=2·\frac{\sqrt{P}}{2}=\sqrt{P}$.

Zatem pole powierzchni całkowitej walca jest równe:

$P_c=2\pi ·{\left(\frac{\sqrt{P}}{2}\right)}^2+2\pi ·\frac{\sqrt{P}}{2}·\sqrt{P}=2\pi ·\frac{P}{4}+\pi ·P=\frac{3}{2}\pi P$.