Przeprowadź konstrukcję dwunastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu .
Skonstruuj sześciokąt foremny, a następnie zastosuj procedurę opisaną w Przykładzie 1.
3
Ćwiczenie 7
Przeprowadź konstrukcję kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu .
Opis konstrukcji.
Wykreśl okrąg o danym promieniu, a następnie poprowadź jego dowolną średnicę – końce tej średnicy oznacz odpowiednio i .
Poprowadź symetralną odcinka – punkty wspólne symetralnej i odcinka oznacz jako odpowiednio i .
Połącz odcinkami kolejne punkty, a otrzymasz kwadrat wpisany w zadany okrąg.
3
Ćwiczenie 8
Przeprowadź konstrukcję kwadratu opisanego na okręgu o promieniu .
Opis konstrukcji.
Wykreśl okrąg o danym promieniu, a następnie poprowadź jego dowolną średnicę – końce tej średnicy oznacz odpowiednio i .
Przez punkty i poprowadź dwie proste prostopadłe do otrzymanej średnicy – w tym celu możesz nakreślić prostą zawierającą tę średnicę, a następnie odłożyć na ten prostej punkty pomocnicze i odległe od końców średnicy o .
Na otrzymanej prostej prostopadłej przechodzącej przez odkładamy odcinki i kreśląc cyrklem łuki o promieniu równym . Analogiczną operację prowadzimy z punktu – odkładamy odcinki i .
Łączymy kolejne punkty otrzymując szukany kwadrat.
3
Ćwiczenie 9
Oblicz różnicę pól sześciokąta foremnego i trójkąta równobocznego wpisanych w okrąg o promieniu .
Zauważ, że kreśląc wszystkie przekątne sześciokąta, dzielimy ten sześciokąt na przystające trójkąty równoboczne o boku równym długości promienia danego okręgu. Zatem pole sześciokąta jest równe . Z kolei na bok trójkąta równobocznego, który konstrukcyjnie otrzymaliśmy łącząc co drugi wierzchołek sześciokąta, składają się dwie wysokości trójkątów równobocznych, o których mówiliśmy wcześniej. Ponieważ wysokość trójkątów powstałych w wyniku triangulacji opisanej wyżej ma długość , zatem „nasz” trójkąt ma bok długości . Jego pole jest więc równe . Różnica pól obu figur jest więc równa .
Uwaga. Gdybyśmy uważnie przyjrzeli się odcinkom i figurom, które powstają w trakcie dzielenia sześciokąta przekątnymi oraz bokom trójkąta równobocznego z wcześniejszych konstrukcji, to mielibyśmy szansę dostrzec, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w dowolny okrąg jest równe połowie pola sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg.